9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.

Лінійна комбінація векторів —це вектор = Система векторів лінійно-залежна, якщо існують скаляри не всі =0, такі що лін. Комбінація вектоів

,j= , Система векторів —лінйно-незалежна, якщо рівність можлива лише тоді, коли всі

Властивості лін.-залежних і лін.-незалежних векторів:

1)Якщо сист. векторів лін.-залежна, то то принаймні 1 з векторів системи є лін. комбінацією інших. Доведення: Нехай лін.-залежна,тоді

є R., тоді . це лін. комбінація векторів

2)Якщо сист. векторів лін.- незалежна, то вона не містить , та жоден вектор системи не є лін. комб. інших векторів системи. Доведення:а) нехай система містить , тоді , .Отже, сист. лін.-залежна, що суперечить умові. в) — ø, тобто

Не є лін. комбінацією інших векторів.

Вектори компланарні-вектори, які лежать в 1 або паралельних площинах. ТЕОРЕМА:В множині всіх компланарних векторів будь-які 2 ненульові неколінеарні вектори є лінійно-незалежними, а будь-який 3-й вектор є лін. комбінацією цих векторів. Доведення: Нехай \ , . Доведемо, що і лін.-незалежні. Нехай і лін.-залежні, тоді а це суперечить умові. Отже, і лін- незалежні.

3)Розгл. 3 вектори , і , зведені в 1 точці. Через кінець проведемо прямі паралельно і . = . В силу колінеарності відповідних векторів, маємо = , = . Тоді = + . Отже, є лінійною комб. і . Зауважимо, що такий розклад за і є однозначним.(Доведення: нехай є другий вектор = + )коорд. вектора , тобто ці вектори є рівними=> співпадає з . Ми дійшли до суперчності, -єдиний.

Множина всіх компланарних векторів з визначеними оперціями додавання векторів та множення на скаляр є прикладом веторного простору. Найбільша кількість лін-незалежних векторів простору назив. Його розмірністю, а сама система лін-незалежних векторів назив. Базисом простору.Множина всіх компланарних вкторів є векторним простором розмірності 2 і познач. . Базис складаєтьсяз будь-яких 2 неколінеарних векторів. Якщо розглядати множину

Всіх векторів у стереометричному просторі, о доводиться ТЕОРЕМА:множині всіх компланарних векторів простору будь-які 3 нкомпланарні, ненульові, поарно неколінеарні вектори є лінійно-незалежними, а будь-який 4-й вектор є лін. комбінацією цих векторів .

10. Проекція вектора на вісь.

Числова вісь у просторі- пряма OS , на якій визначено напрямок, очаток відліку, одиничний відрізок. Вісь зручно задавати за допомогою орту. Розгл. Числову вісь:

O

z

берем будь-який вектор в просторі і зводимо його початок до точки 0. Через кінець вектора проведемоплощин, перпендикулярну до осі. Числова проекція на вісь = = . Властивість числової проекції:1) .

2)Якщо 3) 4)

Числова проекція на — проекція на вісь, що задається . .

Розглянемо вектори в просторі R3 , ортономований базис , . Вектори попарно ортогональні . Зведемо ці вектори до спільного почтку 0 та розташуємо їх так, щоб утворювали раву трійку.

Візьмемо будь-який вектор і відкладемо від т. О.Проведемо через т.А площини ІІ до Ох, Оу, Оz. Одержимо точки при перетині з осями. визначають числові проекції на осі координат. . = , = , = . X= , y= ,z= Отже. Маємо розклад за ортами Декартової прямокутної системи координат. =хі+yj+zk=(x,y,z)

Введемо кути між і осями координат: , , З властивостей 2 проекцій маємо:cos = ; cosb= ; cosj= (за означ. cos) За теор. Піфагора з мал. Маємо: . cos Ці cos кутів є коорд. орта: cos

Переформуємо в коорд. формі означення та лін. операціїнад векторами:

1) =(0;0;0) 2) = , =(x1;y1;z1), (x2;y2;z2)=>x1=x2, y1=y2,z1=z2; 3) =( x; y; z). 4) +- =(x1+-x2;y1+-y2;z1+-z2)

4) = , A(x1,y1,z1), B(x2;y2;z2); =(x2-x1;y2-y1;z2-z1)