17. Кут між двома площинами.

Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями:

A_1x+B_1y+C_1z+D₁=0 , A_2x+B_2y+C_2z+D₂=0

Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:

n₁= , n= .

(1)Кут 0 між площинами визначаеться кутом 0 між векторами n₁ i n₂ . Отже, справджуеться рівність:

Cos =(A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂) / ( * )

(2)Умова перпендикулярності площин така:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

(3)Умова паралельності площин:

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂

(4)Дві площини збігаються, якщо виконується рівність:

A₁/A₂=B₁/B₂=С₁/С₂=D₁/D₂

У разі виконання умови (4) рівняння однієї площини можна дістати з рівняння іншої площини множенням на сталий множник.

Нехай дано три площини:

A_kx+B_ky+C_kz+D_k=0 (k=1,2,3)

Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки у тому разі, коли:

Якщо визначник дорівнює нулю, то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь(5) має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система(5) не має розв’язків.

18. Пряма на площині.(а)

Кут між прямими

А)

Векторне рівняння прямої на площині

- напрямний вектор прямої

t-параметр

М₀ L , M L , ||L , OM₀= _, = , || , =t* , = - ,

t , = + t* ,

Векторне рівняння прямої що проходить через точку радіус вектор якої

,паралельно вектору .

Параметричне рівняння прямої

М₀(х₀,у₀), =(l,m), M(x,y)

x*+y*=x₀* +y₀* +t(l* +m* )

t є R

Канонічне рівняння прямої

(x-x₀)/l=(y-y₀)/m

l²+m² 0

якщо l=0

(x-x₀)*m=0 =>x=x₀

Рівняння прямої що проходить через 2 задані точки

М₁(х₁,у)

М₂(х₂,у₂)

М(х,у)

(х-х₁)/(х₂-х₁)=(у-у₁)/(у₂-у₁)

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

=(l,m)

tg =m/l=k y-y₀=m/l(x-x₀) =>

=> y=kx+b

Загальне рівняння прямої

M₀(x₀,y₀) (A,B)

L ; M₀єL ; M(x,y) , * =0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

(-Ax₀-By₀)=C

Ax+By+C=0

Б)

Розглянемо дві прямі, які задано рівняннями:

y = k₁x + b₁ , y = k₁x + b₁ (1).

якщо прямі паралельні, то вони мають однакові кути нахилу

дві прямі збігаються, якщо: k₁ = k₂ , b₁ = b_{2 .}

якщо прямі взаємно перпендикулярні, то: ₁= ₂+ /2 i

k₂=tg ₂=tg( ₁+ /2)=-ctg ₁=-1/tg ₁=-1/k₁

рівність:

k₂=-1/k₁

є умовою перпендикулярності двох прямих

якщо прямі паралельні, то вони перетинаються в точці , координати якої є розв’язком системи рівнянь:

y=k₁x+b,

y=k₂x+b₂

нехай - кут між цими прямими : (рис.1)

згідно з рис.1 маємо: ₂ = ₂ + (зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів,не суміжних з ним). Отже,

tg =tg( ₂- ₁)=(tg ₂ – tg ₁)/(1+tg ₂*tg ₂)=(k₂-k₁)/(1+k₂k₁)

формулу:

tg =(k₂-k₁)/(1+k₂k₁)

застосовують для знаходження кута між двома прямими, заданими рівняннями виду (1).

19. Пряма в просторі

1.) r=r0+ts, де r-радіус-вектор змінної точки М, r0-радіус вектор заданої точки М0,

s- ненульовий напрямний вектор t-параметр.

tЄR

2.)r =(x,y,z) r0=(x0,y0,zo)

S=(l,m,n)

x =x0+l

y=y0+tm параметричне рівняння

z=z0+tn

3) (x-x0) = (y-y0) = (z-z0) канонічне рівняння

L m n

4) Рівняння прямої через дві задані точки

(x-x1) = (y-y1) = (z-z1)

x2-x1 y2-y1 z2-z1

Загальне рівняння прямої

Пряма задається за допомогою перетину двох площин

A1x+B1y+C1z+D1=0 де

A2x+B2y+C2z+D2=0

З ауваження: Для зведення з загального рівняння прямої до канонічного треба деяку точку спільну для обох площин, ця точка належатиме прямій.

Н априклад: A1 B1

A2 B2

Напрямний S можна взяти колінеарним S|| N1*N2, де N1,N2 нормальні вектори s=напрямний вектор прямої