14. Мішаний добуток трьох векторів.
Мішаним
(векторноскалярним) добутком векторів
,
,
.назив.
число вигляду
=( )
Властивості мішаного добутку
1) ( ) = ( )= ( )= ( )
2) =0 =0 або =0 або =0 або , , - компланарні
3) Модуль мішаного добутку векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на цих векторах.
=Vпар.
=)
(
)
=Sосн.
h=V
|
|=Sпар.
Звідси h=
Об'єм тетраедра побуд.на , ,
Vтетр.=
Координатна форма мішаного добутку
=(x1
+y1
+z1
)
=(x2 +y2 +z2 )
=(x3 +y3 +z3 )
x1
y1 z1
=( ) = x2 y2 z2
x3 y3 z3
ознака компланарності 3 векторів
три ненульові вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх добуток дорівнює нулю.
15. Векторне і нормальне рівняння площини.
оси
и вектора подпишите сами!!!
Обираємо в сист. координат т.Р; радіус-вектор ОР=р; складемо р-ня площини, що проходить через т.Р ┴о до р цієї точки. Рє(π), р┴(π). Візьмемо т.М, Мє(π)-поточна точка. r=OM – радіус-вектор т.М. РМ=r-р; РМ┴р; ↔РМ*р=0; (r-p)p=0;(1)- векторне р-ня площини. Перейдемо в р-ні(1) до координатної форми р=│р│*ер; │р│=р>0; ер=n – орт нормалі до площини. n=(cosα;cosβ;cosγ); M(x;y;z); r=(x;y;z);
p(cosα;cosβ;cosγ)*(x- cosα; y-cosβ; z-cosγ)=0;
xcosα+ycosβ+zcosγ-pcos2α-pcos2β-pcos2γ=0;
xcosα+ycosβ+zcosγ-p*1=0;
p= xcosα+ycosβ+zcosγ (2) – нормальне р-ня площини, де n=(cosα;cosβ;cosγ)-орт нормалі до площини, р- відстань площини від початку координат.
16. Загальне рівняння площини.Відстань та відхилення точки від площини
Загальним р-ням площини в R3 назив. лінійне р-ня вигляду:
(3) Ax+By+Cz+D=0, де A,B,C,DєR, A2+B2+C2≠0. Покажемо, що р-ня (3) можна звести до (2) і навпаки. Домножимо (2) на р:
(2) ↔ xрcosα+yрcosβ+zрcosγ-p2=0. Позначимо A=рcosα,B=рcosβ,C=рcosγ,D=-p2 Отже отримуємо р-ня(3), де N=(A;B;C)-вектор нормалі до площини π.
Для того, щоб (3) звести до (2), домножимо (3) на нормувальний множник μ
μAx+ μBy+ μCz+ μD=0 μ визначається з умов:μA=cosα, μB=cosβ, μC=cosγ,Dμ<0.
звідки
μ2(А2+В2+С2)=1;→
μ=±1/
(знак
вибирається протилежним знаку D)
Отже, маємо р-ня площини у вигляді:
,
яке і є р-ням (2).
Висновок: будь-яке лінійне р-ня вигляду (3) можна звести до р-ня (3), яке є нормальним р-ням площини, і навпаки, якщо в просторі R3 задана довільна площина і фіксована довільна Декартові сист. координат Охуz, то площина визначається в цій системі лінійним р-ням.
Відстань та відхилення від площини.
Нехай задана площина(π) і т., що не лежить на цій площині.
(π): xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0; М0(x0;y0;z0) не є(π). Спроектуємо ОМ0 на вісь, задану n.
OQ= пр nОМ0; OP=пр nOP=p; Відхиленням т. М0 від (π) назив. різниця проекцій:
δ= пр nОМ0; - пр nOP= OQ –p;
пр nОМ0= ОМ0* n= xcosα+ycosβ+zcosγ-p.
Отже, маємо:δ= xcosα+ycosβ+zcosγ-p
δ=0 - М0є(π); δ>0 – М0 і О по різні боки від (π); δ <0 – по один бік.
Відстань точки від площини =:
d=│
δ │=│ xcosα+ycosβ+zcosγ-p│=│
│
Чачтинні випадки загального р-ня:
1) D=0 – площина прох. через початок координат( через т.(0;0;0))
2)А=0, В,С≠0, Ву+Сz+D=0 –площ. паралельна Ох.
3)А=В=0, Сz+D=0 – площ. паралельна Оху і т.д.