Нелинейная зависимость

Пусть для переменных X и Y соответствующие значения xi и yi (i = 1, 2, …, n) таковы, что точки М(xi , yi) не располагаются на прямой линии. Тогда во многих случаях можно ввести новые переменные такие, чтобы преобразование точки лежали на прямой.

В частности, путем логарифмирования можно свести к линейной степенную зависимость

y = axb,

(1.2.1)

где a, b –постоянные причем x  0 и y  0.

Логарифмируя равенство (1.2.1), получим

,

(1.2.2)

полагая Y = lnx, v = lny, u = lna,

получим зависимость

v = bY+u,

(1.2.3)

и применив формулы (1.1.2), найдем значения параметров b и u, а затем значение параметра а.

Показательную зависимость

y = aebx,

(1.2.4)

где а, b - постоянные, а0, также можно привести к линейной путем логарифмирования равенства (1.2.4).

В этом случае

v = lna+bx,

(1.2.5)

Полагая v = lny, c = lna, Y = x, получим линейную зависимость

Таблица №3.6

v=bY+c,

(1.2.6)

и применив формулы (1.1.2), найдем значения b, c, а затем вычислим значение а.

Найденную эмпирическую зависимость Y от X обычно называют теоретической зависимостью.

Подставив в соответствующую формулу значения x_i из таблицы 1, получают -теоретическое значение функции (i = 1, 2, …, n). Далее вычисляют сумму квадратов отклонений эмпирических значений y_i из таблицы 1 и теоретических значений

,

(1.2.7)

Чем меньше значение Q, тем лучше соответствует эмпирическая формула экспериментальным данным.

Задача

В каждом задании требуется методом наименьших квадратов найти теоретическую функциональную зависимость для функции, заданной таблично. В качестве теоретической функциональной зависимости использовать:

– Многочлен первой степени ,

– Показательную функцию ,

– Степенную функцию ,

– Многочлен второй степени .

Для каждой зависимости найти теоретическое значение функции, сумму квадратов отклонений эмпирических значений функции от теоретических значений, указать наименьшее значение этой величины и аппроксимирующую функцию, которой оно соответствует. Построить линию тренда для каждой зависимости и показать уравнение этой линии на диаграмме. Показать на диаграмме величину коэффициента детерминированности R². Этот коэффициент вычисляется по формуле

,

(2.1)

где -заданные значения функции,

-теоретические значения функции,

-среднее арифметическое значение, i = 1, 2, …,n.

Если коэффициент детерминированности равен 1, то теоретические и эмпирические значения функции полностью совпадают. Если коэффициент детерминированности равен 0, то теоретическая зависимость выбрана неудачно.

Исходные данные

Был проведён некоторый эксперимент. Его результаты записаны в виде таблицы, где x_i – величина, задаваемая исследователем (например – концентрация реагентов в химическом растворе), y_i – измеренная величина (в нашем примере это может быть скорость протекания реакции).

xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi
1.08	200.45	5.14	60.98	7.54	15.67	9.32	18.65	11.23	85.98
2.21	149.43	5.98	40.98	7.84	13.98	9.86	22.09	11.46	114.43
3.87	128.98	6.32	29.98	8.07	12.09	10.05	31.65	11.96	130.87
4.07	116.56	6.99	24.65	8.57	14.97	10.54	38.56	12.54	150.98
4.76	87.76	7.43	19.99	8.94	16.09	10.87	57.98	13.86	196.77

Таблица 2