Построение графиков.

Для построения графиков я воспользуюсь мастером диаграмм Microsoft Excel. Для этого выделяю ячейки А1:В25, нажимаю кнопку «Вставка»  «Диаграмма…» В появившемся окне задаю параметры диаграммы – вид диаграммы (точечная), её название, названия осей. После появления диаграммы, нажимаю правой кнопкой мыши непосредственно на одну из точек графика. В появившемся диалоговом окне выбираю команду «Добавить линию тренда». Появится меню, в котором я смогу выбрать способ автоматической аппроксимации и установить отображение уравнений.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Как видно из рисунков 1-3, результаты операций, выполненных «вручную» соответствую результатам, полученным с помощью встроенных в мастер диаграмм функций. Здесь также самым лучшим способом аппроксимации является квадратичная, коэффициент детерминированности которой равен 0,9268 и менее всех остальных отличен от 1.

Функция линейн

Результаты, полученные с помощью функции ЛИНЕЙН совпадают как с результатами линейной аппроксимации, выполненной «вручную», так и с результатами, полученными при построении графика мастером диаграмм программы EXCEL.

-2,33143	90,678891
3,928233	33,950649
0,015084	63,268733
0,35225	23
1410,034	92067,449

Таблица 3

Вывод

Выполнение аппроксимации в табличном процессоре Microsoft Excel способами показывают один и тот же результат – наиболее точной является полиномиальная (в данном случае – квадратичная) аппроксимация. Вывод об этом сделан мною из сравнения коэффициентов детерминированности.

Коэффициент корелляция		-0,12281778
Коэффициент детерминированности
(линейная аппроксимация)		0,015084208
Коэффициент детерминированности
(квадратичная аппроксимация)		0,926830287
Коэффициент детерминированности
(экспоненциальная аппроксимация)		-0,13167688

Таблица 4

Выполнение аппроксимации в программе MathCad Введение

Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Они обычно возникают при обработке экспериментальных данных, полученных в результате измерений процессов или физических явлений, статистических по своей природе (как, например, измерения в радиометрии и ядерной геофизике), или на высоком уровне помех (шумов). Задачей регрессионного анализа является подбор математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные.

1. Линейная регрессия

Линейная регрессия в системе MathCAD выполняется по векторам аргумента Х и отсчетов Y функциями:

intercept(X,Y) – вычисляет параметр а1, смещение линии регрессии по вертикали;

slope(X,Y) – вычисляет параметр a2, угловой коэффициент линии регрессии.

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = = a₁+a₂*x.

Функция corr(Y,y(x)) вычисляет коэффициент корреляции Пирсона. Чем он ближе к 1, тем точнее обрабатываемые данные соответствуют линейной зависимости.

2. Полиномиальная регрессия

Одномерная полиномиальная регрессия с произвольной степенью n полинома и с произвольными координатами отсчетов в MathCAD выполняется функциями:

regress(X,Y,n) – вычисляет вектор S, в составе которого находятся коэффициенты ai полинома n-й степени;

Значения коэффициентов ai могут быть извлечены из вектора S функцией submatrix(S, 3, length(S)-1, 0, 0).

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = = a₁+a₂*x+a₃*x²

3. Нелинейная регрессия

Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций нелинейной регрессии, в которых параметры функций подбираются программой MathCAD. К их числу относится функция expfit(X,Y,S), которая возвращает вектор, содержащий коэффициенты a1, a2 и a3 экспоненциальной функции y(x) = a₁·exp(a₂·x) + a₃. В вектор S вводятся начальные значения коэффициентов a1, a2 и a3 первого приближения.

Линейная аппроксимация в программе MathCAD

Рисунок 4

Рисунок 5

Экспоненциальная аппроксимация в программе MathCAD

Рисунок 6

Полиномальная (квадратичная аппроксимация в программе MathCAD

Рисунок 7

Вывод

Результаты аппроксимации, выполненной в программе MathCAD полностью совпали с результатами, полученными в Excel, что подтвердило правильность произведенных вычислений. Наилучшим способом аппроксимации оказался полиномиальный – его коэффициент детерминированности весьма высок и составляет приблизительно 0,963. Для сравнения привожу таблицу:

	Excel (ручной метод)	Excel (Мастер Диаграмм)	Excel (ЛИНЕЙН)	MathCAD
Линейная	0,015084208	0,0151	0,015084	0,123
Полиномальная	0,926830287	0,9268	–	0,963
Экспоненциальная	-0,13167688	0,0095	–	0,515

Таблица 5

Обращает на себя внимание расхождение между экспоненциальной аппроксимацией, выполненной в EXCEL и в MathCAD. В данном случае верной я считал вторую, так как только в этом случае график линии тренда был похож на график экспоненты, кроме того в EXCEL два различных метода аппроксимации дали сильно расходящиеся результаты.