Билет №18

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

момент инерции сплошного цилиндра

но так как pR2h — объем цилиндра, то его масса m=pR2hr, а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями

Билет №19 кинетическая энергия вращательного движения твердого тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью   вокруг неподвижной оси. Будем рассматривать это тело как совокупность материальных точек с массами  , через   обозначим расстояние от i-й материальной точки до оси вращения, тогда линейная скорость этой точки будет  . Кинетическая энергия этой точки равна

.

Кинетическая энергия вращающегося тела складывается из кинетических энергий отдельных материальных точек, составляющих это тело:

.

Сумма в правой части этого соотношения   представляет собой момент инерции тела относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

.

Кинетическая энергия при плоском движении

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Представим плоское движение тела как поступательное движение со скоростью  , некоторой точки 0 в нем и вращения вокруг оси, проходящей через эту же точку и перпендикулярной   с угловой скоростью  .

В этом случае скорость i-той материальной точки тела определяется формулой

.

Кинетическая энергия i- той материальной точки равна

или

.

Просуммировав по всем материальным точкам, получим

или  , (12)

где М - полная масса тела,   - радиус-вектор центра масс,   - момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку О.

Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то   и формула (12) упрощается: . (13)

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со

скоростью центра масс V_c и вращательное с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс тела, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только скоростью центра масс V_c, а другое - угловой скоростью .

Из (13) следует, что при вращении тела относительно оси z, проходящей через центр масс С, его кинетическая энергия  . (14)

При повороте тела на малый угол  вокруг оси Z совершается работа

.(15)

Мощность

.(16)

Сопоставим основные величины и уравнения поступательного и вращательного движений

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ		ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Масса	m	момент инерции	J
Путь	S	угол поворота
Скорость		угловая скорость
касательное ускорение		угловое ускорение
Сила		момент силы
уравнение движения		уравнение движения
кинетическая энергия		кинетическая энергия
элементарная работа		элементарная работа
мощность		мощность