11.6. Применение методов линейного программирования при планировании строительства мостов и труб

Строительная организация - сложная система, включающая множество взаимодействующих элементов (подразделений) и подвергающаяся воздействию внешней среды (банков, конкурентов, заказчиков и т.д.). Воздействие элементов системы между собой осуществляется через связи, которые имеют информационный характер. Системы такого рода называются информационными или кибернетическими.

Управление такой системой чрезвычайно сложно, поскольку каждая задача управления имеет множество решений. Оптимальное решение может быть найдено с применением экономико-математических методов и средств вычислительной техники.

Характерной чертой экономико-математических методов является использование моделей. Модель - это абстрактное отображение наиболее существенных параметров и взаимосвязей реальных систем. Модели разрабатываются для изучения и регулирования существенных свойств оригинала (например, строительной организации или отдельных сторон ее деятельности, процессов управления и т.д.). Модель должна описывать изучаемый процесс в комплексе с остальными сторонами деятельности организации. Этим определяется подход в процессе моделирования.

Математическая модель производственной системы или ее отдельных сторон представляет собой системы уравнений или неравенств.

Математическая модель выбора оптимального решения состоит из целевой функции (критерия оптимальности) и системы ограничений.

Разработка модели технико-экономических объектов включает три этапа:

- выбор параметров, которые достаточно полно характеризуют экономическую сущность объекта;

- формулирование цели принятия решений и ее представление в формализованном виде - в виде целевой функции, экстремальное значение которой должно быть найдено при решении задачи;

- выделение из множества решений возможных, учитывающих систему ограничений.

Любая задача оптимизации решений в общем виде может быть записана следующим образом

в области значений параметров х_1, х_2,…., х_п, которая обычно задается в виде системы ограничений-неравенств

.

В практике решения оптимизационных задач организации и планирования производства широко используются методы линейного программирования. Эти методы предназначены, в частности, для решения вопросов оптимизации использования ресурсов. Задача заключается в том, чтобы использовать ограниченные ресурсы с наибольшей эффективностью. Это - так называемая задача распределения ресурсов. Задачи распределения становятся в настоящее время количественной основой планирования.

При проектировании организации строительства объектов возможны две постановки задачи. Первая заключается в том, что при известных организационных решениях и заданной продолжительности строительства необходимо выбрать производства работ из множества вариантов таким образом, чтобы срок строительства был не больше установленного, а затраты - минимальными.

Вторая постановка задачи заключается в том, что при известных организационных решениях, заданном парке машин и других ресурсов, требуется определить сроки производства работ при минимальных затратах на сооружение объекта. Такая постановка является основной для железнодорожных войск.

Математическая постановка этой задачи состоит в том, что если имеется, например, m видов механизмов, n пролетных строений, а требуется найти количество монтируемых балок, при котором общий объем производства строительной организации достигает максимума, то значение линейного функционала (целевой функции) имеет вид

,

при условиях

, i=1,2,…,m,

где x_ij - искомое число сборных j-х пролетных строений, устанавливаемых на опоры с помощью механизмов i-го вида;

f_ij - норма времени механизма i-го вида на установку одного j-го пролетного строения (в машиносменах);

P_j - плановый фонд времени работы в году механизма i-го вида (в машиносменах)

,

где _i - количество механизмов i-го вида в строительной организации (шт.);

f_i - номинальный фонд времени работы в году одного механизма i-го вида (в машиносменах);

_i - коэффициент использования механизма i-го вида по времени (1).

Ограничения отражают тот факт, что каждый i-й механизм (i= 1,2,...,m) в течение времени монтажа имеет строго определенное максимальное время работы P_i, в связи, с чем общее время (в машиносменах), затрачиваемой на установку всех видов (j=1,2,...,n) пролетных строений i-ым механизмом, не может превысить величины P_i.

Другой группой ограничений являются требования неотрицательности неизвестных

.

Реализация математической (целевой функции) модели позволяет максимизировать общий объем производства строительной организации.

В другом случае, когда производственная программа строго определена, т.е. когда объемы производства, заданные в плане, не могут быть уменьшены или увеличены, целевая установка функции задачи принимает другой вид, указывающий на необходимость минимизации общего времени работы всех механизмов

.

Можно учесть и затраты на эксплуатацию машин. В этом случае целевая функция примет вид

,

где c_i - себестоимость машиносмены i-го механизма.

Ограничения в этих случаях записываются в виде равенства

, .

Информационное обеспечение задач. Для решения оптимизационной задачи при подготовке исходных данных всем параметрам модели, кроме искомых, необходимо задать конкретные значения, устанавливаемые на основании реальных данных, которые характеризуют производственную деятельность строительной организации

Например, ремонтно-прокатная база (РПБ) имеет ограниченное количество ресурсов, приведенное в таблице 11.2. Потребность в ресурсах на единицу продукции приведена там же.

Таблица 11.2 - Потребность в ресурсах на единицу продукции

Вид сырья	Запасы сырья, т	Потребность в ресурсах
		комплект опалубки	фланец оболочек
Уголок Швеллер Лист толщиной 16 мм Лист толщиной 4 мм	360 330 315 300	3 1 3 -	1 2 - 2

Требуется составить такой план производства, чтобы доход от реализации продукции был наибольшим.

Предположим, что РПБ изготовит х комплектов опалубки и у фланцев. Для этого потребуется 3х+у уголка, а так как всего имеется 360 т уголка, то может быть записано следующее ограничение:

Рассуждая аналогично, можно получить

Целевая функция (доход) будет иметь вид

Областью решений в прямоугольной системе координат является выпуклый многоугольник, описываемый прямыми (рисунок 11.13):

Рисунок 11.13 - Многоугольник решений оптимизационной задачи

Если взять в многоугольнике любую точку, например, с координатами x=30 и y=30, получим величину дохода

Подставляя это значение в уравнение целевой функции, получаем зависимость

.

Но это решение не является оптимальным. Например, в точке (х=60; y=30) доход получается равным F=10x+6y=180 т.р.

Прямая 10х+6у-180=0 параллельна первой прямой, так будет и дальше. Значит, чтобы найти оптимальное решение, надо найти точку многоугольника решений неравенства, перемещая первую прямую параллельно самой себе в сторону возрастания абсцисс.

Пересечение прямых III и IV, можно найти, решив совместно уравнения

Получим х=78, у=126, т.е. если РПБ изготовит 78 комплектов опалубки и 126 фланцев, то она получит максимальный доход, который составит F=7810+1266=1536 т.р. При всяком другом решении доход будет меньше.