Тема 5. Приближенное решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений .

Системы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений в общем виде можно представить как

(6.1)

Эта система уравнений имеет и другую форму записи в векторном виде

F(x) = 0, (6.2)

здесь F(x) - некоторая вектор-функция от векторного аргумента x. Решение их аналитическими методами, как правило, невозможно или очень сложно. Поэтому наиболее часто нахождение корней таких уравнений производится приближенными методами. Все эти методы требуют предварительного нахождения начального приближения к значению искомого корня, а затем уже использование конкретного метода позволяет его уточнить с заданной степенью точности. В двухмерном случае начальное приближение можно получить графическим методом как координаты одной из точек пересечения графиков, соответствующих каждому из двух уравнений.

Метод Ньютона для поиска корней системы нелинейных уравнений является аналогом метода Ньютона для нелинейных уравнений. Его незначительная модификация, называемая методом Ньютона-Канторовича, более пригодна для проведения расчетов в Excel. В этом методе используется наряду с векторами x и F(x) также матрица A - матрица частных производных (f_i / x_j) размером в n строк и n столбцов и вспомогательный вектор-столбец z, содержащий n элементов.

.

, .

Итерационная формула метода в матричной записи имеет следующий вид

z_j = - A^-1(x_j )F(x_j ) (6.3)

x_{j +1} = x_j + z_j,

здесь j - номер иттерации, x₀ - начальное приближение искомого корня. Процесс иттераций завершается, если все элементы последнего вектора z по абсолютной величине станут меньше заданной точности (говоря точнее, когда норма вектора z станет меньше заданной точности). Вычисления данным методом удобно производить в Excel c использованием функций матричной алгебры. Результаты расчетов представляются в виде таблицы, приведенной в нижеследующем примере.

Пример. Используя метод Ньютона-Канторовича с точностью Е=0.001 найти один из корней системы нелинейных уравнений

.

Определим графически начальное приближение искомого корня. Для этого построим на одной и той же координатной плоскости графики обоих функций. Поскольку первое уравнение представляет собой график окружности с центром в начале координат, преобразуем его к двум уравнениям (отдельно для верхней полуплоскости и для нижней полуплоскости) и , таким образом, получим две системы

и .

П остроим графики с помощью Excel.

П о точкам пересечения графиков определим начальные приближения искомых корней. Как видно - система уравнений имеет два корня. Найдем один из них. За начальное приближение примем x₀=1.3, y₀=1.7. Дальнейшие вычисления проведем с использованием Excel. Результаты вычислений представим в виде таблицы

I	x	f	матрица	А	матрица	А-1	z	Норма z
0	1,3	-0,4200	2,6000	3,4000	0,2263	-0,7694	0,0797	0,1845
	1,7	-0,2271	-0,5350	1,0000	0,1211	0,5884	-0,1845
1	1,2203	0,0404	2,4406	3,7690	0,1989	-0,7495	0,0035	0,0085
	1,8845	0,0061	-0,6867	1,0000	0,1366	0,4853	0,0085
2	1,2168	0,0001	2,4336	3,7520	0,1986	-0,7452	0,0000	0,0000
	1,8760	0,0000	-0,6933	1,0000	0,1377	0,4834	0,0000

Корень системы уравнений с заданной точностью найден и равен

x=1.2168, y=1.8760.