Аналитически такая зависимость имеет вид

(10.13)

Пример 4. Для таблично заданной функции из примера 1 произвести кусочно-линейную интерполяцию.

Путем несложных расчетов можно найти значения коэффициентов k и b для каждого из четырех интервалов. Получим

k₁ = -4, k₂ = 3, k₃ = 3, k₄ = 2,

b₁ = 5, b₂ = -2, b₃ = -2, b₄ = 0.

Отсюда, окончательно получим

.

Локальная интерполяция с использованием сплайн-функций, позволяет построить гладкую (несколько раз дифференцируемую) интерполирующую функцию. Используется интерполяция сплайн-функциями второго и третьего порядков. Рассмотрим интерполяцию сплайн-функциями второго порядка, как более простую, и ограничимся случаем равномерности шага по переменной x, т. е. положим x_i = a + ih (i = 0, 1, … , n).

На каждом интервале [x_i-1 , x_i] (i = 1, 2, … , n) строят интерполирующую функцию в виде полинома второго порядка вида

. (10.14)

Очевидно, что a_i = S_i (x_i) = y_i, (i = 1, 2, … , n). Для определения значений остальных коэффициентов используют следующие два условия :

• непрерывность интерполирующей функции - для этого должно выполняться условие равенства двух полиномов в средних узлах интерполяции, т.е.

S_i (x_i) = S_i+1 (x_i) (i = 1, 2, … , n-1), (10.15)

• гладкость интерполирующей функции - для этого должно выполняться условие равенства производных двух полиномов в средних узлах интерполяции, т.е.

S’_i (x_i) = S’_i+1 (x_i) (i = 1, 2, … , n-1). (10.16)

Уравнения (10.15) и (10.16) вместе с уравнением

S₁(x₀) = y_{0 ,} (10.17)

которое задает условие прохождения интерполирующей функции через самый левый узел интерполяции, представляют собой систему из 2n-1 линейных алгебраических уравнений относительно 2n неизвестных b_i и c_i (i = 1, 2, … , n). По этой системе, задав произвольно один из ее коэффициентов, можно определить значения всех остальных.

Введя искусственный коэффициент b₀, по формуле b₀ = b₁ - hc₁, после преобразований системы (10.15), (10.16), (10.17) получим формулу для рекуррентных вычислений коэффициентов полиномов

. (10.18)

Задавшись произвольным значением искусственного коэффициента b₀, который можно трактовать как значение производной интерполирующей функции в самом левом узле интерполяции, мы постепенно определим значения всех коэффициентов всех интерполирующих полиномов.

Пример 5. Дана таблично заданная функция :

i	0	1	2	3
x	-2	-1	0	1
y	-1	0	0	1

Произвести ее интерполирование

• способом кусочно-линейной интерполяции

• сплайн-функцией второго порядка.

Выполняя интерполирование способом кусочно-линейной интерполяции, аналогично предыдущему примеру, получим

.

Выполнняя интерполирование сплайн-функцией второго порядка, получим

h=1; a₀ = -1, a₁ = 0, a₂ = 0, a₃ = 1;

b₁ = 2 - b₀, b₂ = -(2 - b₀), b₃ = 4 - b₀,

c₁ = 2 - 2b₀, c₂ = -2(2 - b₀), c₃ = 6 - 2b₀.

a) положим b₀=0. Тогда

b₁ = 2, b₂ = -2, b₃ = 4, c₁ = 2, c₂ = -4, c₃ = 6.