Интерполирующая сплайн-функция будет иметь вид

.

После преобразований окончательно получим

.

б) положим b₀=1. Тогда

b₁ = 1, b₂ = -1, b₃ = 3, c₁ = 0, c₂ = -2, c₃ = 4.

Тогда интерполирующая сплайн-функция (после преобразования) будет иметь вид

.

в) положим b₀=2. Тогда

b₁ = 0, b₂ = 0, b₃ = 2, c₁ = -2, c₂ = 0, c₃ = 2.

Тогда интерполирующая сплайн-функция (после преобразования) будет иметь вид

.

Изобразив на одной координатной плоскости все четыре графика, получим

На приведенном графике под Y (черный цвет линии) понимается ломаная линия (полученная методом кусочно-линейной интерполяции), под Y₀ (фиолетовый цвет), Y₁ (желтый цвет), Y₂ (голубой цвет) - сплайн-функции второго порядка, полученніе при b=0, b=1 и b=2 соответственно. На отрезке [-2, -1] функции Y и Y₁ совпадают. На отрезке [-1, 0] функции Y и Y₂ совпадают.

Тема 10. Среднеквадратическое приближение функций.

Приближение функций, также как и интерполяция, предназначено для построения функциональной зависимости в виде y = f(x) на интервале [a, b] исходя из таблично заданных пар значений (x_i, y_i) (i= 1, 2, … , n). В отличие от интерполяции, нумерация пар значений ведется с единицы (а не с нуля) и, кроме того, не требуется выполнения соотношения a = x₁ <x₂ < … <x_n = b. Но, самое существенное отличие от интерполяции состоит в том, что заданные пары значений не считаются измеренными достаточно точно (допустима некотороя ошибка измерений) и, поэтому, построенная функциональная зависимость не обязательно должна проходить через все заданные точки. Достаточно, чтобы она проходила “вблизи” каждой из этих точек.

Мерой близости прохождения построенной функциональной зависимости от заданных пар значений (в данной лабораторной работе) является значение среднеквадратической величины невязки. Невязкой считается значение Значение среднеквадратической величины невязки вычисляется по формуле

,

где

(11.1)

Если значение F оказывается достаточно малым - приближение выполнено хорошо, в противном случае - поиск хорошего приближения необходимо продолжить.

Поиск приближающей функции - это выбор функции определенного вида, которая зависит от нескольких (mn) числовых коэффициентов а значения этих коэффициентов выбирают из условия минимизации среднего квадрата невязок. Исходя из того, что минимум критерия F достигается при тех же значениях коэффициентов, что и минимум суммы S, то поиск значений коэффициентов прооизводят исходя из необходтмости минимизации суммы S. Для этого находят частные производные от S по каждому из коэффициентов и приравнивают их нулю. Таким образом, получают систему уравнений

(11.2)

В ней имеется m уравнений относительно m неизвестных неизвестных коэффициентов функции. Такая система, вообще говоря, может быть решена, хотя найти решение непросто. Поиск решения значительно упрощается, если функция зависит от коэффициентов линейно. Если , то система (11.2) примет более простой вид

(11.3)