2005/2006 Учебный год. Вариант 3.

Задача 1. Пусть и квадратные матрицы порядка , . Предположим, что . Доказать, что собственное число матрицы .

Решение. Поскольку матрица ненулевая, существует вектор , такой, что . , поэтому . Если бы матрица была невырождена, то у вектора существовал бы какой-то прообраз (такой, что , но тогда бы . Противоречие. Значит, матрица вырождена, а значит  собственное число матрицы .

Задача 2.Найти базис и размерность пересечения подпространств и , натянутых на вектора и соответственно.

Решение. Пересечение подпространств будем искать, исходя из условия:

Составляем систему линейных уравнений, решаем ее, получаем и пересечение является линейной оболочкой векторов и . Соответственно, размерность пересечения равна 2.

2005/2006 Учебный год. Вариант 4.

Задача 1. Пусть и два подпространства пространства . Доказать, что если , то совпадает с одним из этих подпространств, а с другим.

Решение. Предположим, что . Тогда . Поскольку , получаем, . Поскольку все размерности  числа целые и учитывая четность, получаем, что . А поскольку пересечение лежит в каждом из множеств, получаем, что . Таким образом лежит в . А значит, .

Задача 2. Найти все корни многочлена .

Ответ: .

2005/2006 Учебный год. Вариант 5.

Задача 1. Показать, что многочлены ( ) и не взаимно-просты, тогда и только тогда, когда .

Решение. . Поскольку и , получаем, . Заметим, что делится на . Количество слагаемых в многочлене получается . Если , то делится на . Если , получаем . Поэтому . Если , получаем . Поэтому . Ч.т.д.

Задача 2. Найти общее решение системы уравнений:

.

Ответ: .

2006/2007 Учебный год. Вариант I-1.

Задача 1. Доказать, что матрицу ранга можно представить в виде суммы матриц ранга 1, но нельзя – в виде суммы меньшего числа таких матриц.

Решение. Если матрица ранга , значит, есть строк , таких что через эти строки-вектора можно выразить в виде линейной комбинации все строки матрицы. Получаем

Предположим, что можно взять сумму меньшего количества матриц ранга 1. Матрица ранга 1 выглядит так: . Если бы матрица разложилась в сумму меньше, чем таких матриц, получилось бы, что каждая строка матрицы разложилась в линейную комбинацию такого же числа векторов (что противоречит тому, что ).

Задача 2. Даны системы векторов

Найти базис и , где , .

Решение. Для начала найдем базисы и .

-- базис . .

-- базис . .

У всего векторного пространства размерность 3 и у подпространства размерность 3. Значит, совпадает со всем пространством. И значит, – подпространство в . Поэтому ; . Базисы найдены выше.

2006/2007 Учебный год. Вариант I-2.

Задача 1. Вычислить определитель

.

Решение. Из всех столбцов матрицы вычтем первый.

Разложим определитель по последнему столбцу.

Затем по последней строке. Получаем. . Методом математической индукции получаем, что

Задача 2. Пусть подпространства векторного пространства . Верно ли, что ?

Решение. Нет, не верно в общем случае. Возьмем в качестве пространства – обычное 3-мерное евклидово пространство с декартовой системой координат Oxyz. Рассмотрим , , . Получаем: . . Заметим, что дает все пространство и тоже дает все пространство . Следовательно . Т.е. в приведенном примере формула не верна.