2006/2007 Учебный год. Вариант I-5.

Задача 1 Используя жорданову форму матрицы, вычислить

.

Решение. Найдем жорданову форму матрицы и матрицу перехода . Получаем: . Тогда .

. Собственное число единственное кратности 2, . Поскольку , жорданова клетка одна. Нетрудно найти и жорданов базис. Получаем:

Возведем матрицу в степень. Для этого докажем формулу: методом мат.индукции.

База: при формула верна (как видно из вида матрицы ). Пусть формула верна и для . Посчитаем .

.

Поэтому . Поэтому

Задача 2. Вычислить определитель

.

Решение. Обозначим

.

Разложим определитель по 1 строке. Получим: .

Поэтому ответ в задаче .

2007/2008 Учебный год. Вариант 1.

Задача 1. Найдите жорданову форму матрицы .

Решение. При матрица, как видно, уже находится в жордановой форме. Поэтому далее считаем, что .

Вычислим характеристический многочлен этой матрицы : . Заметим, что при у многочлена два различных корня, не равных 1 (при корни действительные; при комплексные). Значит при у характеристического многочлена 3 различных корня, и значит жорданова форма диагональна. Вот она:

Задача 2. Найдите расстояние между плоскостями , в четырехмерном аффинном пространстве, если , , , , , .

Решение. Чтобы найти расстояние между линейными многообразиями и надо найти ортогональную составляющую вектора относительно подпространства . Для начала найдем базис . Мы знаем, что . Базис найдем с помощью метода Гаусса.

В последней матрице по строкам выписан базис .

Найдем ортогональную составляющую вектора относительно , . Составим систему линейных уравнений на из условия, что ортогонален всему базису . И решим ее.

Получаем, . Тогда . Тогда .

2007/2008 Учебный год. Вариант 2.

Задача 1. Найдите жорданову форму матрицы .

Решение. При матрица, как видно, уже находится в жордановой форме. Поэтому далее считаем, что .

Заметим, что характеристический многочлен этой матрицы не зависит от . . Значит, единственное собственное число . Вычислим ранг матрицы . При , . Значит, у матрицы две жордановы клетки с собственным числом 1. Поэтому ее жорданова форма такова:

Задача 2. Найдите расстояние между плоскостями , в четырехмерном аффинном пространстве, если , , , , , .

Решение. Задача аналогична задаче 2 из варианта 1, поэтому подробно объяснять решение не будем.

Найдем базис .

Заметим, что совпадает с из задачи первого варианта, a₂a₁ так же совпадает. Т.е. решение далее совпадает.

Ответ: расстояние между плоскостями

2007/2008 Учебный год. Вариант 3.

Задача 1. Найти жорданову форму матрицы

Решение. Заметим, что при матрица уже находится в жордановой форме. Поэтому далее считаем, что . Посчитаем характеристический многочлен: . Таким образом, при , у многочлена 3 различных корня , , . И жорданова форма:

Задача 2. Найдите расстояние между плоскостями , в четырехмерном аффинном пространстве, если , , , , , .

Решение. Задача аналогична задаче 2 из варианта 1, поэтому подробно объяснять решение не будем.

Найдем базис .

Заметим, что совпадает с из задачи первого варианта, так же совпадает. Т.е. решение далее совпадает. Ответ: расстояние между плоскостями