2008/2009 Учебный год. Вариант II-3
Задача
5.
Найти минимальный многочлен матрицы
.
Решение.
Заметим, что
.
Следовательно, в жордановой форме
матрицы
три жордановых клетки с нулем по диагонали
(и значит, минимум 3 нуля на диагонали
жордановой формы). Четвертый элемент
на диагонали не известен. Обозначим его
.
Поскольку следы подобных матриц
совпадают, 0+0+0+х=212+1=0.
Значит, x=0.
Значит, жорданова форма этой матрицы
.
Тогда
это нильпотентная матрица с индексом
нильпотентности 2. Значит,
.
Т.е. многочлен
является аннулирующим для этой матрицы.
Понятно, что никакой линейный многочлен
не может быть аннулирующим для матрицы
.
Значит,
– минимальный многочлен матрицы
.
Задача
6.
Пусть
– квадратная матрица порядка
.
Доказать, что если
,
для некоторого
,
тогда
диагонализируема, то есть сопряжена
диагональной матрице.
Решение.
Обозначим
жорданову
форму матрицы
.Заметим,
что если матрицы
и
подобны, то подобны и матрицы
и
.
Это означает, что
подобна матрице
.
Матрица
может быть подобна только самой себе,
значит,
.
Предположим,
что не все жордановы клетки размерности
1, т.е. в жордановом базисе есть вектор
высоты 2 (т.е. есть 2 вектора
– собственный и
– к нему присоединенный):
;
.
Тогда
.
Доказываем методом мат.индукции (база
при
верна по определению вектора
:
пусть теперь верно для
.
Тогда
,
а
/*по
предположению индукции*/
Таким
образом,
.
Раскрываем скобки, получаем искомое.)
Тогда
.
Поскольку
,
должно быть
.
Поскольку вектора
и
изначально из жорданова базиса, они
линейно независимы. Поэтому
,
.
Противоречие (из первого условия следует,
что
,
а из второго
).
Значит, все жордановы клетки размерности
1 (т.е. матрица А диагонализируема).
2008/2009 Учебный год. Вариант II-4.
Задача
5.
В евклидовом пространстве
со скалярным произведением
найти проекцию
на подпространство, порожденное векторами
.
Решение.
Вектор
разложится в сумму
.
Где
,
а
– из ортогонального дополнения к этому
подпространству. Поэтому
.
Составим условие ортогональности
c подпространством
:
Получаем линейную систему уравнений:
Откуда
.
Следовательно, проекция
на оболочку векторов
получилась
.
Задача
6.
Пусть
и
– квадратные матрицы размера
,
причем
– обратима. Доказать, что
..
Решение.
Пусть
.
Поскольку матрица
обратима, умножим все равенство на
справа. Получим
.
Откуда следует, что матрицы
и
подобны. Но этого быть не может, т.к.
.
Противоречие. Что и требовалось доказать.
2008/2009 Учебный год. Вариант II-5.
Задача
5.
Найти жорданову форму матрицы
Решение. Первым делом необходимо найти собственные числа:
Собственное число только 1 кратности 3. Вычислим ранг матрицы :
Значит, 2 жордановы клетки с числом 1. Поэтому жорданова форма такая:
Задача
6.
Пусть даны два многочлена
такие, что
.
Доказать, что
делится на
.
Решение.
.
Докажетм, что оба этих слагаемых делятся
на
.
Пусть
.
Тогда
.
Заметим, что
.
Поэтому для любого многочлена
получаем, что
.
Отсюда следует, что
и
делятся на
.
Что и требовалось доказать.