Глава 2. Простейшие контактно-гидродинамические задачи .

2.1. Современное состояние простейшей контактно-

гидродинамической задачи.

Простейшая контактно-гидродинамическая задача — это плоская, изо­термическая, стационарная задача для ньютоновской жидкости, вязкость которой зависит от давления по экспоненциальному закону Баруса при гладких поверхностях. Такая постановка дает возможность выяснить ос­новные особенности задачи и получить базу для построения решений более сложных современных задач. Однако и в этой простейшей постановке зада­ча оказалась чрезвычайно сложной.

Если задачи гидродинамики и теории упругости в наиболее сложном случае сводятся к решению систем дифференциальных уравнений в част­ных производных, для которых в математической физике имеются разра­ботанные методы решения, то контактно-гидродинамическая задача даже в элементарной постановке представляет собой систему нелинейных интег­рально-дифференциальных сингулярных уравнений, которые до сих пор решены только численно для отдельных выбранных значений параметров. В связи с этим до сих пор актуальны разработки как приближенных мето­дов решения этой простейшей задачи, так и уточненные решения.

2.2. Решения простейшей задачи контактной

гидродинамики

Приближенные решения. Первая попытка приближенного решения простейшей контактно-гидродинамической задачи была сделана в работе А.М. Эртеля. Решение основано на предположении, что вначале две поверх­ности сжимаются без смазочного материала, деформируясь согласно Герцу, затем их раздвигают без изменения деформации, вводят смазочный ма­териал, устанавливают редан; профиль зазора за пределами деформирован­ного участка при этом не изменяется, а приведенный радиус кривизны по­верхностей от входного участка до деформированного уменьшается от исходного до нуля и затем скачком растет до бесконечности.

В действительности же приведенный радиус не уменьшается до нуля, а плавно растет до бесконечности. Вместе в тем грузоподъемность контак­та в основном зависит от радиуса кривизны на входном участке; поэтому были основания полагать, что рекомендация А.М. Эртеля, согласно кото­рой для повышения долговечности следует применять менее вязкие масла, вследствие значительной погрешности решения являлась ошибочной и лишь подтверждала эту точку зрения.

Гипотезой А.М. Эртеля пользовались А.Н. Грубин, МЛ. Галахов и мно­гие зарубежные ученые.

В 1958- 1961 гг. Д.С. Коднир предложил иное приближенное решение контактно-гидродинамической задачи, которое опирается на гипотезу Винклера. Рассмотрим случай большой разности радиусов кривизны поверхнос­тей трения, когда площадка контакта мала по сравнению с радиусом кри­визны (подшипники качения, зубчатые передачи); при этом силы, дейст­вующие на площадке контакта, параллельны.

Рассмотрим два цилиндра, перекатывающиеся и скользящие один относительно другого (рис. 2.1) со скоростями и . Пусть вязкость масла зависит от давления по формуле Баруса:

(2.1)

Первым уравнением контактно-гидродинамической теории является основное дифференциальное уравнение гидродинамической теории смаз­ки — уравнение Рейнольдса, которое имеет вид

(2.2)

- суммарная скорость качения в контакте

- кинематическая вязкость масла при атмосферном давлении

- пьезокоэффициент вязкости смазочного материала

Рис. 2.1. Схема контакта двух Рис. 2.2. Профиль зазора

цилиндров до и после дефор­мации

Второе уравнение можно получить, выразив профиль зазора после деформирования через профиль до деформирования и прогиб поверхности (их взаимное перемещение, которое происходит в процессе деформации поверхности).

Пусть, решив контактно-гидродинамическую задачу, мы получим ка­кой-то профиль зазора h (рис.2.2).Если к нему прибавить значение Деформации в каждой точке, то получим профиль зазора до деформирова­ния при любом поперечном смещении профилей.

Необходимость учета смещения вызвана тем, что мы хотим рассмот­реть и случай, когда больше толщины h смазочного слоя, т.е. случай больших деформаций. Из рис.2.2 следует, что

(2.3)

Зазор между двумя цилиндрами до деформирования на узком участке зоны контакта с большой степенью точности может быть описан квадратичной параболой

Где - минимальная толщина смазочного слоя до деформирования.

Уравнения (2.2) и (2.3) пригодны как для приближенной, так и для уточ­ненной простейшей контактно-гидродинамической задачи.

Приближенное решение основано на предположении, что дефор­мация пропорциональна локальному давлению (гипотеза Винклера):

(2.4)

Где, А' — коэффициент пропорциональности (константа Винклера), м.

Е – модуль упругости материала.

Подставив (2.4) в (2.3), получим второе уравнение контактной гидроди­намики

(2.5)

- приведённый радиус кривизны поверхностей трения

Таким образом, задача заключается в совместном решении уравнений (2.2) и (2.5). Однако получить его аналитически не удается; для получения численного решения следует использовать ЭВМ.

Для упрощения расчета эти уравнения необходимо привести к безраз­мерному виду, что позволит резко сократить число независимых расчетных параметров.

Обозначим размерные параметры через соответствующие безразмер­ные величины .

- безразмерное местное давление в смазочном слое.

Введенные параметры В и опре­делим из (2.2) и (2.5) таким образом, чтобы по возможности упростить без­размерные уравнения.

Учтем, что в месте обрыва смазочного слоя безразмерная абсцисса

Из уравнения (2.5) получим

Примем

(2.6)

В результате получим безразмерные уравнения приближённой контактно-гидродинамической задачи

(2.7)

(2.8)

Где

(2.9)

При максимальные контактногидродинамические давления равны напряжениям в контакте.

(2.10)

Где - нагрузка на единицу длины контакта,

- коэффициент Пуассона

Из уравнения (2.8) следует, что

и

(2.11)

Тогда , откуда

Подставив это выражение в (2.10), после перехода к размерным величинам и подстановки , получим выражение

(2.12)

(2.13)

И.Д. Ратнером получена приближенная формула для расчетов толщин смазочного слоя в зубчатых передачах и подшипниках качения:

(2.14)

Эту формулу следует применять при