Регрессионный анализ

Широко распространенной задачей обработки данных является представление результатов экспе- римента некоторой функцией y(x). Задача регрессионного анализа заключается в получении параметров этой функции, описывающей (аппроксимирующей) экспериментальные данные, заданные векторами VX и VY, с наименьшей среднеквадратической погрешностью (метод наименьших квадратов).

_{Довольно часто используется линейная регрессия, при которой аппроксимирующая функция y(x)имеет вид yx  a  bx , для определения коэффициентов которой в MathCAD служат следующие встроен-}ные функции:

 intercept(VX, VY) – возвращает значение параметра a (величины отрезка, отсекаемого линией регрессии на оси OY);

 slope (VX, VY) – возвращает значение параметра b (тангенса угла наклона линии регрессии). Пример дан на рис. 24.

Рис. 24 Линейная регрессия

В приведенном примере (рис. 24) рассчитан коэффици_{ент корреляции (связи) двух множеств VX и VY с помощью функции corr. Чем ближе этот коэффициент к единице по модулю, тем точнее исходные табличные дан-ные, определенные векторами VX и VY, описываются линейной зависимостью yx  a  bx .}Проведение полиномиальной регрессии, т.е. аппроксимации табличной зависимости полиномом n-й степени, выполняется посредством встроенной функции regress(VX, VY, n). Данная функция возвращает вектор, назовем его k, элементы которого, начиная с четвертого, представляют собой коэффициенты аппроксимирующего полинома

_{Пример выполнения полиномиальной регрессии представлен на рис. 25.}

Рис. 25 Полиномиальная регрессия

Замечание! Для нахождения корней полинома произвольной степени в MathCAD используется функция polyroots. Кроме того, в MathCAD имеется ряд других функций для проведения регрессионного анализа, например, linfit, loess, genfit.

Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем ва_{риантом два задания (табл. 7).}

1 Выполнить в MathCAD заданного вида интерполяцию табличных данных

y  f x. Построить _{графики.}

_{2 Аппроксимировать таблично заданную зависимость y  f x указанной функцией с помощью регрессионного анализа. Построить графики.}

№	Исходные данные у=f(x)	Задание 1 (вид интерполяции)	Задание 2 (регрессионный анализ)
1	x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] y=[12,5 10 13,6 17,4 21,5 20,5 29,3 27,6 31,2]	Кусочно- линейная	Модель-полином 4 степени
2	x=[5 10 15 20 25 30 35 40] y=[99,1 50,6 23,5 20,1 45,7 51,1 76,0 110,1]	Сплайновая	Линейная модель
3	х=[0,5 0,7 1,0 1,1 1,5 1,8 1,9 2,2 2,3] y=[14,5 10,1 9,6 5,5 3,6 0,5 -0,3 -7,6 -8,0]	Кусочно- линейная	Модель-полином 3 степени
4	х=[0 3 4 5 7 8 11 14 17] y=[-3 0 2 10 9 14 21 25 31]	Сплайновая	Модель-полином 2 степени
5	x=[-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4] y=[12 23 33 41 47 56 59]	Кусочно- линейная	Модель-полином 4 степени
6	x=[3,7 5,1 6 7,2 8 8,3 8,9 9,4 9,6] y=[14 16 12 12 10,3 9 7 8,9 5 1]	Сплайновая	Линейная модель
7	х=[1,3 1,5 2,0 3,4 6,1 7,0 9,3 10,2 11] y=[120 115 100 99 81 72 64 55 48]	Кусочно- линейная	Модель-полином 3 степени
8	x=[100 111 120 124 128 131 156 163 170] y=[315 299 250 266 270 111 91 100 78]	Сплайновая	Модель-полином 2 степени
9	x=[0,5 0,7 1,0 1,1 1,5 1,8 1,9 2,2 2,3] y=[14,5 10,1 9,6 5,5 3,6 0,5 -0,3 -7,6 -8,0]	Кусочно- линейная	Модель-полином 4 степени
10	x=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50] y=[99,1 50,6 23,5 20,1 45,7 51,1 76,0 110,1 156,2]	Сплайновая	Линейная модель
11	x=[0 3 4 5 7 8 11 14 17] y=[-3 0 2 10 9 14 21 25 31]	Кусочно- линейная	Модель-полином 3 степени
12	x=[1 2 3 4 5 6 7 8] y=[12,5 10 13,6 17,4 21,5 20,5 29,3 27,6]	Сплайновая	Модель-полином 2 степени
13	x=[2 4 6 8 10 12 14 16] y=[1 1,5 1,2 3 4,1 7,2 5,5 3,4]	Кусочно- линейная	Модель-полином 4 степени
14	x=[0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8] y=[1 0,5 0,3 -0,2 0,1 0,6 0,3 -0,2 0]	Сплайновая	Линейная модель

Таблица 7

Список литературы и ссылки в Internet

1 Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. – М.: Нолидж, 2001. – 1296 c.

2 Дьяконов В.П. MathCAD 2000: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 501 с.

3 Дьяконов В.П. Справочник MathCAD 12. – М.: СК Пресс, 2005.

4 MathCAD 12. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows ХР. – М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1996.

5 www.mathsoft.com – официальный сайт фирмы MathSoft Inc. – разработчика MathCAD.

6 www.exponenta.ru – русскоязычный сайт, посвященный системам автоматизированных расчетов.

8