1. Довідковий теоретичний матеріал

   1. Класичне означення ймовірності

Імовірністю події А у схемі скінченної кількості однаково можливих елементарних подій називається відношення

де т(А) - кількість елементарних подій, що сприяють події А; п - загальна кількість елементарних подій.

2. Елементи комбінаторики

Припустимо, що необхідно виконати послідовно k дій. Коли першу дію можна виконати n₁ способами, другу – n₂ способами, третю – n₃ способами і так до k-ї дії, яку можна виконати n_k способами, то всі k дій разом можна виконати способами, у цьому полягає основний принцип комбінаторики (правило множення).

Нехай Ω - деяка множина з п елементів. Деяка k- елементна підмножина множини з п елементів називається комбінацією з п елементів по k. Порядок елементів у підмножині не є істотним. Кількість k- елементних підмножин множини позначають .

Наприклад, коли , тоді - усі можливі комбінації з 3 по 1 (отже, =3); - усі можливі комбінації з 3 по 2 (отже, = 3).

Кількість комбінацій з п елементів по к обчислюють за формулою

Множину називають упорядкованою, коли кожному елементу цієї множини відповідає деяке число (номер елемента) від 1 до п (п - кількість

елементів множини), де різним елементам відповідають різні числа.

Різноманітні упорядковані множини, що відрізняються лише порядком елементів (тобто можна одержати з тієї самої множини), називають перестановками цієї множини. Наприклад, перестановки множини мають вигляд:

{а, b, с}, {а, с, b}, {b, а, с},

{b, с, а}, {с, а, b}, {с, b, а}.

Кількість перестановок Р_n множини, що містить п елементів, обчислюють за формулою Р_n = п!.

_{Розглянемо упорядковані підмножини даної множини Ω. Кожну її підмножину може бути упорядковано деяким можливим способом. Кількість усіх} k-елементних підмножин множини Ω дорівнює . Кожну таку підмножину можна упорядкувати k! способами. Таким чином, одержуємо всі упорядковані k-елементні підмножини множини Ω. Кількість упорядкованих k-елементних підмножин множини, що містить п елементів, позначають через

Упорядковані k-елементні підмножини множини з п елементів називаються розміщенням з п елементів по k. Різні розміщення з п по k відрізняються або елементами, або їх порядком.

Нехай k₁, k₂,…k_m - цілі невід'ємні числа, причому . Подамо множину А з n елементів у вигляді суми т множин А₁, А₂, ... А_m, що містять відповідно k₁, k₂,…k_m елементів. Позначимо кількість різних способів такого розбиття на групи через С_п (k₁, k₂,…k_m). Її обчислюють за формулою:

Наведемо комбінаторну схему, що зустрічається при розв'язуванні задач:

n -елементна множина А є сумою множин А₁ , А₂,… А_k кількість елементів яких дорівнює відповідно n₁ n₂ … n_k , B – m-елементна підмножина множини А, що містить m₁ елементів з А₁, т₂ з А₂, ..., т_к елементів з А_k . Кількість способів, якими можна вибирати таку множину В з А (множини невпорядковано), за основним принципом комбінаторики дорівнює

3. Геометричне означення ймовірності

Припустимо, що внаслідок експерименту у деякій області Ω навмання з'являється точка ω. Необхідно визначити ймовірність Р(А) того, що ω А, де А - область, що належить Ω, А Ω. За означенням

де т(А) та т(Ω) - геометрична міра області А та області Ω (довжина, площа, об'єм).