7. Закони розподілу і числові характеристики випадкових величин

Випадковою величиною  називається функція  (), яку позначено на просторі елементарних подій Ω яка задовольняє умови вимірності відносно -алгебри подій, тобто для кожного дійсного х множина {:()<x} належить -алгебрі подій і, таким чином, має імовірність.

Функцією розподілу випадкової величини  називається функція змінної х, що дорівнює

F(х)=P {<x}, –<x<.

Тобто значення функції розподілу F(x) випадкової величини  є імовірність того, що одержує значення менше за х.

Випадкова величина  називається дискретною, коли є скінченна або зліченна множина чисел х₁, х₂, ..., х_k, ..., таких, що

Сукупність значень xk і відповідних ймовірностей pk називається розподілом дискретної випадкової величини.

Приклади дискретних розподілів

1. Біноміальний розподіл:

2. Розподіл Пуассона:

3. Геометричний розподіл:

4. Гіпергеометричний розподіл:

Випадкова величина ξ називається абсолютно неперервною випадковою величиною, якщо її функцію розподілу може бути подано у вигляді

де p(x) – деяка інтегрована на (-∞,∞) функція, яка називається щільністю розподілу випадкової величини. Можна показати, що p(x) – невід’ємна функція і така, що

Приклади неперервних розподілів

1. Рівномірний розподіл:

2. Нормальний розподіл (з параметрами a, σ):

3. Показниковий (експоненціальний) розподіл:

4. Розподіл Коші:

Із формули (7) випливає, що в кожній точці неперервності p(x) маємо рівність

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини ξ називається число

Якщо випадкова величина набуде зліченої множини значень, то необхідна абсолютна збіжність ряду (8). Якщо ряд не збігається, то випадкова величина не має математичного сподівання.

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини ξ називається число

якщо інтеграл збігається абсолютно.

Дисперсію Dξ випадкової величини ξ називається математичне сподівання випадкової величини (ξ – Mξ )² .

Для дискретної випадкової величини дисперсію обчислюють за формулою

а для неперервної – за формулою:

Імовірність того, що випадкова величина ξ набуває значення у заданому числовому проміжку, обчислюють за однією з формул:

Двовимірні випадкові величини

Розподіл двох випадкових величин ξ і , або двовимірної випадкової величини

(ξ і ), не вичерпується розподілом кожної з них, оскільки при цьому не враховується залежність, яка може бути між ними.

Функцію розподілу F(x,y) двовимірної випадкової величини (ξ і ) позначають, як імовірність сумісного виконання нерівностей ξ <x і <y:

Якщо F(x, y) може бути подано у вигляді

де – деяка інтегрована невід’ємна функція, то двовимірну випадкову величину (ξ і ) називають неперервною, а функцію – щільністю розподілу двовимірної випадкової величини

(ξ і ).

Щільність розподілу випадкової величини ξ виражають через сумісну щільність так:

Аналогічно для щільності розподілу випадкової величини маємо:

На відміну від сумісної щільності розподілу одновимірні щільності і називають маргінальними.

Випадкові величини ξ і називають незалежними, якщо їх сумісна функція розподілу при довільних значеннях аргументів х, у дорівнює добутку маргінальних функцій розподілу (x) випадкової величини ξ і (x) випадкової величини :

Нехай (ξ, ) – неперервна двовимірна випадкова величини зі щільністю розподілу Тоді для незалежності ξ і необхідно і достатньо, щоб сумісна щільність розкладалася у добуток маргінальних щільностей і

Коефіцієнт кореляції. Величина М [(ξ – Mξ) ( – M )] називається коваріацією випадкових величин ξ і , cov(ξ, ). Якщо (ξ, ) – неперервна двовимірна випадкова величина з щільністю розподілу то

Величина називається коефіцієнтом кореляції випадкових величин ξ і .

Властивості коефіцієнта кореляції

1. Модуль коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці, | r | .

2. Якщо ξ і - незалежні випадкові величини, то r = 0. Проте з умови r = 0 (некорельованість випадкових величин ξ і ) не виходить незалежність ξ і .

3. Якщо ξ і пов’язані лінійною залежністю, то | r | .

Властивості математичного сподівання і дисперсії

1. Математичне сподівання сталої дорівнює цій сталій, тобто MC = C, C = const.

2. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто (припускається, що існують)

3. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто (припускається, що існують).

4. Дисперсія сталої дорівнює нулеві, тобто DC = 0, C = const.

5. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій, тобто (припускається, що існують).