26. Множества и понятия
Как известно, любое понятие имеет объем. Ранее мы говорили
об объеме понятия, названного некоторым термином, как о сово
купности объектов, которые можно назвать этим термином. С тео
ретико-множественных позиций объем понятия — это множество
объектов, которые можно н азвать словом, обозначающ им поня
тие. Например, объем понятия «треугольник» — множество треуголь
ников, объем понятия «прямой угол» — множество прямых углов.
Подход к объему понятия как множеству дает возможность
наглядно представлять отношения между понятиями.
Рассмотрим два понятия: понятие а — «прямоугольник» и по
нятие Ь — «квадрат». Обозначим их объемы соответственно бук
вами А и В. Так как всякий квадрат является прямоугольником,
то при помощи кругов Эйлера отношения между объемами дан
ных понятий и зобр ажа ются так, как на рисунке 26. В этом слу
чае говорят, что понятие «прямоугольник» является родовым по
отношению к понятию «квад рат», а понятие «квадрат» — видовым
по отношению к понятию «прямоугольник».
Существую т понятия, которые не находятся в отношении рода
и вида. Например, понятия «квадрат» и «треугольник» — их объе
мы не находятся в отношении включения.
Понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие мо
жет быть родовым по отношению к одному и видовым по отно
шению к другому. Например, понятие «прямоугольник» родовое
по отношению к понятию «квадрат» и видо
вое по отношению к понятию «четырех
угольник».
Для одного и того же понятия можно ук а
зать несколько родовых по отношению к нему
понятий. Так, для понятия «прямоугольник»
родовыми являю тся понятия «четырехуголь
ник», «параллелограмм», «многоугольник».
Среди них можно указа ть ближайшее. Д ля
понятия «прямоугольник» ближайшим родо
вым понятием является понятие « п а раллело
г р амм ».
■
Рис. 26
69
У
п р а ж н е н и я
1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между
объемами понятий а и Ь, если:
1) а — «треугольник», Ь — «прямоугол уш й треугольник»;
2) а — «прямая», Ь — «отрезок»;
3) а — «равнобедренный треугольник», Ь — «тупоугольный тре
угольник».
2. Покажите при помощи кругов Эйлера, что понятие «п ря
моугольник» видовое по отношению к понятию «четырехугольник»,
и назовите свойства четырехугольников, которыми обладают пря
моугольники.
3. Изобразите при помощи кругов Эйлера высказы вания:
1) Все числа, кратные 6, кратны и 3.
2) Среди чисел, кратных 7, есть числа, кратные 5.
3) Среди нечетных чисел нет ни одного числа, которое делилось
бы на 4.
4. Даны понятия: а — «четное натуральное число», Ь — «нечет
ное натуральное число», с — «натуральное число». В каком слу
чае на рисунке 27 изображены отношения между объемами данных
понятий (объемы обозначены соответственно А, В, С ) ?
5. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между
понятиями а, Ь и с, если:
1) а — «однозначное число», b — «двузначное число», с — «на
туральное число»;
2) а — «треугольник», Ь — «равносторонний треугольник», с —
«равнобедренный треугольник»;
3) а — «прямые, лежащи е в одной плоскости», Ь — «параллель
ные прямые», с — «пересекающиеся прямые»;
4) а — «натуральное число», b — «целое число», с — «рацио
нальное число».
6. Приведите примеры понятий, отношения между которыми изо
бр ажаются так, как на рисунке: 1) 27, а; 2) 27, в.
Рис. 27
70