9. Правила построения отрицаний высказываний,
со держ ащих кванторы
Рас смотрим высказ ыва ние: «В се нат уральные числа д елятся
на 3». В том, чт о это л ож но е выс казывание, легк о убедиться ,
приве дя контрпример . Так , на тураль ное число 17 не делится
на 3.
П остроим отрицан ие д анного выс казывания. М ожно сказать:
« Неверно, что все натуральные числа д елятся на 3». Э то пред ло же
ние истинное, и по с мыслу оно с овпад а ет с пр едлож ение м «Сущ е
ствуют на тураль ны е числа, кото рые не д еля тся на 3».
Таким о бра зо м, о трицание выс казывания «Вс е нат уральн ые
ч ис ла д елят с я на 3» можно построить двум я способа ми:
1) пос тави в перед данн ым предло жение м слова «неверно, что»;
2) заменив ква нт ор общнос ти на квантор с ущест вовани я, а
предложение, с тоящее после кванто ра, его о трицание м.
Заметим, что предложен ие «Все на тураль ные числ а не д елятся
на 3» не яв ляется от рицани ем выс казывания «Все нат урал ьные
числа д елятся на 3», поскольку оно ло жно так же, как и данное
высказы вание.
Возьмем тепер ь предложение с ква нто ром сущес твования:
«Не которые нечетные числа делятся на 4». Это л ож ное высказы
ван ие : все нечетные ч ис ла не д елятся на 2 и, сле доват ель но ,
не дел ят с я на 4.
Пост роим отрица ние данно го выс казывания . Мо жно с каза ть:
« Неверно, что не которые нечетные числа д е лятс я на 4». Это
предлож ение истинное и по смыслу совпа дает с таким: «Все не
четные числа не делятся на 4».
Та ким о бра зо м, о трицание выс казы ва ния « Неко торые нечет
ные числа д елят ся на 4» м ожно построить д вум я способ ами:
1) поставив перед данным пред ложение м слова «неверно,
что»;
2) за мени в квантор с ущ ествова ния на квантор общно сти,
а пред ложени е, стоящее по сле квантора, его от рицанием.
При построе нии от рицаний выс казыва ний мы вос пользовались
правилом, которое принимае м без доказательства.
Отрицание высказывания с квантором (общности или сущест
вован ия) мож ет быть построено двумя способами:
1) перед данным высказыванием ставятся с лова «неверно,
что»;
2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
существовани я (об щ нос ти), а предложение, стояще е после кван
тора, заменяется ег о отрицанием.
24
Замет
им, что сформулир ованн ое пр авило
яв ляе тся д о стат о ч
ным д ля прави льного по строения о трицания выс ка зыва ний с
кванторо м. О т рицание д анного выска зы вания м ожет быт ь построе
но и в др угой форме. Ва жно только соблюд ение требования: если
данное высказы ва ние ложно, то его отр ица ние должно б ыт ь ис
тинным, и наоб орот.
Упра жне ния
1. О пр еделите, яв ля ются ли с леду ющие па ры пр едлож ен ий
о триц а ниями д р у г д р уга:
1) число 289 кратно 9. Ч исло 289 не кратно 9;
±
2) лю бое н а т уральн ое ч исло д е лится на 5. Любое нат у ральн ое
ч исло не д елится на 5;
3) вся кий мно гоу гол ьник являе тся ч етырехугольником. Сущ е ст
вуют многоугольн ики , не явл яющ иеся чет ырехугол ьниками;
4) некоторые на тур альные числа мень ше единицы. Каждое на
т у ральное число не м е ньш е едини цы.
2. Док ажите, что с леду ющи е в ыс казы ван ия л о ж ны , и постр ой
те их отрицани я д в умя спо соб ами:
1) всякое с во йст во к вадрат а п рисуще п рямоу го льн ику;
2) л юбое нат у р а ль ное ч ис ло явл яе тся реш ением уравн е ния
2а: — 3 = 1 ;
3) с ущ е ствует нат уральное чис ло, являю щ е е с я реш ением у р а в
не ния х 2= — 1.
3. К акие из ниж е пр ивед е нных вы с казы вани й являю т с я о т р и
ца ниям и пред лож е ни я «Всяко е ч етное чи сло д елится на 3»:
1) вс як ое ч етное ч исло не д е лится на 3;
2) неве рно , ч то всякое четн ое ч ис ло делитс я на 3;
3) сущ ествует ч етно е ч ис ло, котор ое не д е ли тся на 3;
4) не ко торые чет ные числа д е л ятся на 3;
5) не вс як ое ч исло д елится на 3?
4. Среди с лед ующих предло же ний найдите отрицание выска
зы ва ния «Сущес твует натурал ьное число, являющ еес я решением
не раве нс тва 2л:-f-6 <С2»;
1) все на ту рал ьные числа не явл яют ся решением не равенс тва
2лг + С < 2 ;
2) существуе т на туральное число, не являющ еес я решением
нер авенст ва 2х + 6 < 2 ;
3) неверно, что суще ствует на ту рал ьное число, явля ющееся
решением нера венства 2х + 6 < 2 ;
4) не существует натураль но го числа, являющ ег ося решением
неравенства 2х + 6 < 2 .
5. Полу чив раве нства 3 + 5 = 8, 9 + 5 = 1 4 , 11 + 17 = 28, у ч а
щий ся сделал выв од: с умма любых двух нечетных чисел ес ть
число четное. Верен ли этот выв од? М ожет е ли вы приду мать д ва
нечетных ч исла , суммой которых явл яется нечетное число? Д о к а
зы ва ет ли ва ш ответ, что таких д вух нечетных чисел не сущес т
вует?
25