83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа

В пре дыдущем пункте мы установили , что о д ном у и тому же

Ьтрезку можно по ст авить в соотв етст вие бе ск онечное м ножество

равны х д робей, в ыраж ающих его длину при выб ранной единице е.

Но длина от резка должна представл ятьс я ед инственным числом.

Поэт ому р авные дроби сч итают различными запися ми одного и

т о го же чис ла, а сам о ч исло на зывают положите льным рац ио

нальным числом.

Вообщ е по ло жите льное рациональное число — это мн ожество

р авных д робе й, а к аждая д робь, прина длежащая этому множ еству,

е ст ь запись (пре дст авление) эт ого числа,

и

Наприме р, мн ожест во

/ 4 8 12 16 \

, — , -д-, — , ...| есть некото рое поло-

- 4 8 12

ж нтельное ра цио нальное число, а дроби -j-, -g-, -g- и т. д .— это р аз

личные зап иси этого числа.

М н о ж ество

ное ра цио нальное ч исло. '

...} опре деляет другое по ло житель

С о гласно д анному выш е опред елению мы, увидев запись — ,

д олжны говор ить, ч то ™----- это д робь или ч то имеем по ложитель

ное рацион альное число, за писанно е в виде дроби

к ороче : « Д ано по ложит ельное рациональное число

Чащ е говорят

Но эт о не

значит, ч то мы о тождест вляе м понятие полож ител ьн ого рациональ

ного числа и дроби. Э т о разные поняти я, но так говор ят в целях

крат кости речи.

Что ж е пред ставляет собой запись -д-? В о зможны от веты: « Э т о

д р о бь», «Это запись полож ительно го рацио нального числа».

М о ж н о ли ска зать, что —----- эт о по ло жительное р ацио нальное

число? М ожн о, но т олько ради краткости речи.

Среди вс ех записей некоторого полож ительного рационального

числа выде ля ют нес ократим ую дробь, т. е. д р обь, в кот оро й числитель

и знамен атель таковы, что их наибольший общ ий делитель равен 1.

и

, . 2 4 6 8

Например, среди д робей — , — , ^у-, — , ..., опре деляющ их р ацио

нально е число, такой д р о бь ю является

Ворбщ е для л юбого положительного рац ионального числа сущ е

ствует одн а и только одна несокр атимая дробь , я вл яющаяся за писью

эт о го числа.

Определя я понятие положительного рацио нального числа, мы

воспол ьзо вались измерением длин отр езков. Н еобход им ость выр а

219

зить т очн о длину отрезка единственным числом привела к по явлению

положите льных рациона льны х чисел.

Расс мотрим теперь о братную зада чу.

Пусть — запись некоторого рацио нального числа. Най дется

ли тако й отрезок, длина к о торо го выр аж ает ся этим числом?

Д о каза но, что для л юбого по ложи тельн ого числа, пр едста вленно

го д р о бью существует отр езок, длина к оторого выражается этим

числ ом при выбранной е динице длины.

П р и м е р . Построи м отрезок, длина которого выр аж ается чис-

13

лом — . Дл я этого : I) вы бираем единицу длины е ; 2) делим о тре

зо к е на 4 равные части; 3) откладываем на лу че О х 13 отрезков,

каждый из к оторы х равен четверт ой д оле о тре зка е.

В результате получаем отр е зок ОА , длина к отор о го выр аж а-

13

ется число м — (р ис. 1 24).

М ножество по ло жите льных рациональны х чисел о бо значают Q +.

П окажем , что все натуральные числа со держ атся в этом м ноже

ств е, т. е. что A fc=Q + .

Пусть длина отрезка а при единице длины е выражается нату

ральным числом т. Например, на рисунке 125 она пред ставлена

числом 4.

Ра зобьем отрезо к е на п равны х частей. То гда п -я д оля отрезка

е будет укладыват ься в о тре зке а т -п раз, т. е. длина отрезка а

бу дет выражаться д робя ми вида

отрезка а пре дставлена д р о бью

(так, на рисунке 125 длина

Но м нож еств о этих дробей

есть положительное ра цио нальное число. Следовате льн о, длина о т

резка а, с одной ст оро ны, выражается натуральным числом т, а с

„

т - п 1 т

другой — положительны м рациональны м числом —— . Но это д о лж

но быт ь о дн о и то ж е число. Поэт ому цел есообразно считать,

что д р оби вида

являются запися ми натурального числа т. Мы

по казали, что л юбое нат уральное число т. можно пр едставить в

виде д роби

сле дова тельно , N a Q + .

ш

П р и м е р . Представим натуральное

28_

4 '

.

.......

Итак, вс е натур альные числа содер

ж атся в множестве по ложите льных р а

ц иональных чисел ( рис. 1 26). Числа, к о

торые дополняют м нож ество натуральных

ч’чисел до множества положительных ра

ционал ьных чисел, называют дро бными

числами.

vV\

Упраж не ния

1. Верны ли сле дующи е вы ск азывания :

з

1) Д р о бь — являет ся записью нек оторо го р ационально го числа;

17

17

2 ) -g— д робь; 3) -g— полож ительное рациональ ное число?

2. Рациональн ые ч исла предста вле ны д робями — и — . При

каком условии эти рациональные числа бу дут равными?

О П

171717 1717 17

3. Докажите, что: 1) 252525 2525 25 *

313131

3131 31

2)

757575 7575 75 *

4. Д окажите , что при любом натуральном значении а следу ющие

v * v 2а - }-1 п . 2а -f- Зд -{- 7 -j-

д р оби несокр атимы: I) — ; 2) — - —

—

(

5. Каки е цифры надо подста вить вмест о *, чт обы получилась

прави льна я несок ратимая д р обь: 1) 285 .

2 .7 ’

2) H i . Ъ

' 3*9 ’

6. Д р о бь несократима. Буде т ли сок ратима дробь аЈ ?

7. Выберите единицу длины и постр ойте отр езок, длина к ото-

11

2

р о го выраж ается д р о бью : 1) — ; 2) у .

84. Сложение и вычитание

Пуст ь отрезки а, Ь, с та ковы, ч то с = а + Ь и при вы бра нной еди-

6

7

6

нице длины е а — — е, Ь = -^-с (рис. 127). Тогд а с = а + Ь = — е +

7

13

e = 6ei + 7 e i = ( 6 + 7 ) ei = 1 3 e i = — е, т. е. длина о трезка с выр а

ж ает ся чис лом

6 7

которое целесо образно расс ма тривать как сумму

О п р е д е л е н и е . Если пол ожи

тельны е рациональные числа а и Ь

пред ставлены дробями ^ и

то

Рмс. 127

су ммой чисел (Ги 6 называет ся число,

пр едста вля ем ое дробью т + ~— :

т | р _ т + Р

п п п

Есл и полож ительные рациональные числа а и Ь пред ставлены

дробями с разны ми знаме нателями, т о о быч но эти д роби привод ят

к наиме ньш ему о бщ ему знаменателю, а пот ом ск лады вают по пра-

U

вилу (1). Например,

5 . 2

25 . 8

2 5 + 8 33 II

Сумма л юбы х д вух поло жите льных чисел сущ е ст вует и един

ственна. Эти положения мы примем бе з д оказательства.

Ра ссмо тренные правила сло жения полож ительных рациональ ных

чисел по зволяют считать, что сло жение этих чисел свод ится, по

сущ е ст ву, к сл ожению нат ур альных чисел.

С ложение положительных рациональны х чисел по дчиняется пе

р емест ительном у и сочетательно му зак онам:

а + Ь= Ь-\-а д ля любых a, 6 6 Q + ;

(a-f-fe)-|-c = a - f-(6 - l-c) д ля любых а, Ь, с€ <?+ -

Д о к ажем , что для сло жения по ло жительны х ра цио нальны х чисел

сп равед лив переместительный закон. Пусть числа а и b предста в

лены д робя ми с один аковыми знаменателя ми: а = — , Ь = — . Тогд а

П П

по опре деле нию су ммы имеем

=

.

Но в числителе дроби т-~ р ск ладывают ся натуральные числа,

а для них, как д оказано ранее , имеет место переместит ельный

за кон, т. е.

т + Р р + т

П

П

Далее, применив опять правило сл ожения р ацион альных чисел,

получаем:

E ± H L = J L + J ! L = b + a .

п п ' п '

Та ким о бразом, м ожно ск азать, что переместительный закон

сложения положительных рациональных чисел вы тек ает из опре

деления сложен ия этих чисел и переме ст ительного закона слож е

ния нат уральных чисел.

222

Аналогично д оказы вается и сочета тельный закон.

В связи с опре делением сло жения р ацио нальных чисел возни-

1

5

кает во зм ожност ь уточнить см ысл записей вида 3 — , 1 2 — .

Ра зличают пра вильн ые и неправильны е д р оби. Д р о бь — назы-

\ п

вают правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и непра

вильной, если ее числ ите ль бо льше знаменателя или равен ему.

' Пусть — неправильная д р обь. Тогда т ^ п . Если т кратно п,

т о в это м случа е д р обь -^- являет ся з аписью нат ур ального числа

Например , если дана дробь -у-, то у - = 5 . Если число т не кратно п,

т о разделим т на п с о статком: m = nq-\-r, где г < .п . Подст авим

nq-\-r вместо т в дробь ~ и применим правило ( 1) :

т _ пд + г _ пд . г _ ■ г

п

п

п ' п

„ 

По ск ольку г < п , то д робь ~ правильная. Следовательно, д р обь ~

оказалась представлен ной в виде су ммы натурального числа q и

правиль ной дроби

Э т о действ ие называют выделением целой

, , ,

13 4 - 3 + 1

4 - 3 ,

ч асти из неправильной дроби. Например , — = — ^ — = —-------(-

- J - - j - = 3 + - ^ - . Пр инято сумм у натурального числа и правильной

дро би записывать без знака сл ожения, т. е. вместо 3 +

3 у - и называют таку ю запис ь смешанным чис лом.

пишут

С пр аведливо и обратное ут верж дение : всякое смешанное чис ло

мож н о записать в виде неправильной дроби. Нап ример:

о I 0 , 1

3 - 4 , 1

1 2+1 _ 13 _ „ О 1 _ 3 - 4 + 1 _ 13

4

4 1-4 4

4

4 ’ ' ' 4

4

4 ‘

Расс мот рим вычитание полож ительных рациональных чисел.

О п р е д е л е н и е . Ра зност ью по ложите льны х рациональны х чи

сел а и Ь называе тся т ако е по ложите льно е р ациональное число с,

что а = Ь-{-с .

Понятие р азности опреде лено, а как практически из о дно го

положительного рац ионально го числа вы чссть другое?

Пуст ь а = - ^ - , Ь = --~, а р азность а — Ь пусть пр едставляе тся

д робью

Найдем х . По определе нию разно сти

а по

правил у ( 1)

. Таким о бразом, т = р -\ -х , но т , р

223

и х — числа натураль ные, а для них эт а з апись озна чает, ч то

х — т — р. Приходи м к сл едующему правилу:

пг Р m — р

Упражнения

п п

п

(2)

1.

мо жно:.

Сл ожите д р оби, пред ва рительно сок рати в их, если эт о воз

^ 120 68 78 ’ ^ 12

15

9 ’ ^ 40

5 30 ‘

2Г Вычислите наибо лее р ациональным спосо бом, применяя з а

коны слож ения:

о\ с ^ I о , 1 32 , « 7 I 2

) 24 "*■ 33

48 "** 24 3 '

3. Найдите р азность: 1) 1 о | | - 8 ^ - ; 2) 105-^— 3 - j j .

5

5

7

4. Сумм у чисел 24— и 2 2 — уменьшите на 7 — . Сколькими

Z4

сп особам и эт о мож но сде лать?

О

15

5. Как ое из чисел ближ е к 1: или ?

6. Найдите значение выражения:

2> ( 24- 3 5 - ) - ( 2 |Т = Г - Ш -