Ргр № 3. Расчет статически неопределимых балок

Задание состоит из статически неопределимой неразрезной и консольной балок. Схемы балок представлены на рис. 12, числовые данные – в табл. 3.

Последовательность выполнения РГР № 4

1. Вычертить схему балки, соблюдая масштаб длин. Проставить числовые значения размеров и нагрузок.

2. Установить степень статической неопределимости.

3. Выбрать основную схему. Вычертить основную схему, приложив к ней заданные нагрузки и лишние неизвестные.

4. Составить канонические уравнения метода сил (или уравнение трех моментов).

5. Решить систему канонических уравнений метода сил и определить значения лишних неизвестных.

6. Построить эпюры Q_у и М_z для балок, проставить числовые значения всех характерных ординат с указанием их размерности.

7. Вычислить величины опорных реакций.

8. Изобразить характер изогнутой оси балки.

Схема 0

Схема 1

Схема 2

Схема 3

Схема 4

Схема 5

Схема 6

Схема 7

Схема 8

Схема 9

Рис. 12. Расчетные схемы балок к РГР № 4

Таблица 3

Числовые данные к РГР № 3

№	а, м	b, м	с, м	№	Р, кН	q, кН/м	М, кНм	№ схемы
100	6	3	3	10	50	8	36	1
200	4	2	3	20	20	6	24	2
300	4	3	4	30	30	5	38	3
400	6	4	4	40	50	8	40	4
500	6	3	6	50	40	5	40	5
600	3	2	6	60	20	5	36	6
700	3	4	5	70	50	8	25	7
800	3	3	5	80	30	6	28	8
900	5	3	2	90	40	5	30	9
000	5	2	2	00	30	8	25	0

Пример решения ргр № 3

Балка неразрезная

Схема неразрезной балки показана на рис. 13, а. Система дважды статически неопределимая.

На рис. 13, б приведена основная система, которая получена путем отбрасывания "лишних" связей и размещения на их месте шарниров, которые приводят к возникновению моментов Х₁ и Х₂. К основной системе прикладываем заданные нагрузки и получаем эквивалентную систему (рис. 13, в).

Составим канонические уравнения метода сил. Т. к. система дважды статически неопределимая, то имеем два уравнения.

,

.

Определим коэффициенты в канонических уравнениях, используя правило Верещагина. На рис. 13, г  д показаны эпюры единичных моментов Х₁ = 1 и Х₂ = 1, а на рис. 13, е – эпюры моментов внешних сил. Буквой "" обозначены площади эпюр, которые представляют собой геометрические фигуры (треугольники и парабола), буквой "у" обозначены ординаты центров тяжести эпюр. Для определения коэффициентов "" необходимо произвести перемножение "единичных" эпюр (рис. 14).

Рис. 13

Рис. 14

,

,

.

Для определения перемещений _1р и _2р произведем перемножение площадей грузовых эпюр на ординаты единичных эпюр, соответствующих абсциссе центра тяжести грузовых эпюр (рис. 15).

Рис. 15

,

.

Подставим полученные значения в канонические уравнения метода сил, сократим на 1/EJ.

,

.

Решив систему уравнений, получим значения неизвестных моментов: Х₁ = =  31 кНм, Х₂ =  26 кНм.

Знак "" указывает на то, что первоначально принятое направление моментов Х₁ и Х₂ следует изменить на обратное направление.

Строим эпюры усилий. Рассматриваем каждый пролет балки как самостоятельную двухопорную балку, загруженную внешними силами и моментами Х₁ и Х₂. Для каждой балочки определяем реакции опор и строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 16).

Балочка № 1

Реакции в опорах определим из уравнений статики:

кН;

кН.

Проверка: .

Уравнения поперечных сил и изгибающих моментов (справа):

, , при z = 2,483 м поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент достигает максимального значения (30,83 кНм).

Балочка № 2

Реакции в опорах:

кН;

кН.

Проверка: .

Уравнения поперечных сил и изгибающих моментов (справа):

; .

Рис. 16

Балочка № 3

Реакции в опорах:

кН;

кН.

Проверка: .

Уравнения поперечных сил и изгибающих моментов:

0  z₁  3.

.

0  z₂  1,5.

.

Реакции в опорах определяются путем суммирования реакций в балочках:

R_А = 24,83 кН, R_В = = 35,17  4,17 = 31 кН, = 4,17 + + 29,33 = 33,5 кН, R_D = 50,67 кН.

Проверка правильности нахождения реакций:

.

Соединяем полученные эпюры в одну, строим примерный вид изогнутой оси балки (рис. 17). Проверка правильности решения системы производится с применением метода начальных параметров и определения вертикальных перемещений в точках А, В, С и D.

Рис. 17

Балка с жесткой заделкой

Расчетная схема представлена на рис. 18, а. Система является один раз статически неопределимой, т. к. она имеет три неизвестные реакции опоры, а использовать для их определения мы может только два уравнения статики. Приняв реакцию опоры R_В за "лишнюю" неизвестную Х, получим основную систему в виде консоли, нагрузив которую распределенной нагрузкой q, моментом М и неизвестной реакцией Х, получим эквивалентную схему (б).

Каноническая форма уравнение перемещений для рассматриваемой схемы имеет вид: . Из формулы имеем: .

Прогиб от внешней нагрузки (грузовая система рис. 18, в) определим по правилу Верещагина: ,

где – площадь прямоугольника, определяемого как произведение его сторон,  площадь параболы как геометрической фигуры, определяемая произведением 1/3 ее сторон, у₂ и у₃ – ординаты центров тяжести прямоугольника и параболы, исходя из пропорций в прямоугольном треугольнике у₂ = у₃ = 3/4l.

Определив величины площадей и ординат, получим значение перемещения от внешних нагрузок М и q: .

Прогиб от единичной нагрузки определим, перемножив единичную эпюру саму на себя: , где - площадь единичной эпюры, выражаемая площадью прямоугольного треугольника,  ордината центра тяжести единичной эпюры. Тогда .

Подставим в каноническое уравнение метода сил найденные значения перемещений и определим величину неизвестной реакции Х.

кН.

Определив значение реакции R_В = 34,5 кН, строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 19), изображаем примерный вид изогнутой оси балки. Реакции в заделке R_A = 37,5 кН, m_А = 49 кНм.

Начало координат помещаем в точку А и составляем уравнение прогиба для точки В. Начальные параметры у₀ = 0, ₀ = 0 (жесткая заделка), z = 6 м.

.

Таким образом, система решена правильно, вертикальное перемещение в опоре В равно нулю.

Рис. 18

Рис. 19