1

Лекция 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФУЗИИ

1. Математика законов Фика

Рассмотрим теперь диффузионные уравнения, связанные с законами Фика более подробно.

1.1 Однородная изотропная среда

_{В случае трехмерной диффузии первый закон Фика имеет вид:}

_{⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞}

_{j = − D⎜} ^C ₊

^C ₊ ^C _{⎟ = − D grad C = − D ∇C , (1)}

2

_⎝ ^{∂x ∂y}

^∂z _⎠

где j – поток диффузанта через единицу поверхности.

_{Второй закон Фика:}

2

_∂C ^⎛ _∂

_{= D⎜}

C ₊ ∂

C _{+ =} ∂

^{2 ⎞}

⎠

_{⎟ = D div grad C = D ∇} ²_{C . (2)}

⎝

^{∂t ⎜ ∂x 2}

^{∂y 2}

^{∂z 2 ⎟}

В простейшем случае одномерной диффузии (например, диффузии в неограниченной пластине) двумя основными дифференциальными формами законов диффузии Фика являются:

_{∂C(x )}

C

^{J = − DS}

^и

∂C (x, t )

^{= D}

^∂t

^∂x

^{∂ 2 C (x, t )}

^{∂x 2}

(1а)

(2а)

Ур.1а дает скорость проникновения диффузанта через единицу поверхности некоторой среды при стационарном состоянии потока, выраженную через градиент концентрации и постоянную, называемую коэффициентом диффузии D. S- площадь поверхности, через которую проходит диффузионный поток. Второе уравнение определяет накопление диффузанта в определенной точке среды как функцию времени. Таким образом, это уравнение относится к нестационарному состоянию потока.

1.1 Неоднородная среда

_{В неоднородной среде, коэффициент диффузии является функцией координаты, тогда:}

^{D = f ( x, y, z) и}

^{∂ ∂} ⎛ ^∂ ⎞

_{∂ ⎛ ∂ ⎞}

_{∂ ⎛ ∂ ⎞}

^C = _⎜ D

∂t ∂x _⎝

C

^{⎟ +}

^{∂x ⎠}

⎜ D

∂y _⎝

^C ⎟ +

∂y _⎠

_⎜ D

∂z _⎝

_⎟ = div(D grad C ) . (3)

C

∂z _⎠

В анизотропной среде, диффузия идет по каждой из координатной оси со своим

^{коэффициентом диффузии}

_Имеем:

^{Dx , D y и}

^{Dz .}

^∂C

^{∂t = Dx}

^{∂ 2C}

^{∂x 2}

^{+ D y}

^{∂ 2C}

^{∂y 2}

^{+ Dz}

^{∂ 2C}

^{∂z 2}

. (4)

Если воспользоваться подстановкой обычную форму диффузионного уравнения:

^{ξ = x D ;}

^Dx

^{η = y D ;}

^{D y}

^{ς = z}

^D _{, то получим}

^D_z

∂C ^⎛ ∂ ²C

_{= D⎜}

^{∂ 2C}

₊

∂ ²C ^⎞

2 ⎟

_{+ ⎟ . (5)}

⎜

^∂t _⎝ ^{∂ξ 2}

^{∂η 2}

^∂ς _⎠

Необходимо учитывать, что при осложнении диффузии другими параллельно идущими процессами ход этого комплексного процесса должен описываться выражениями, отличными от вытекающих из решений «классических» уравнений диффузии. Предположение о постоянстве D

2

оправдывается не всегда – часто коэффициент диффузии зависит от концентрации диффузанта, градиента концентрации, пространственной координаты и времени диффузионного эксперимента (а иногда – от всех этих параметров вместе). Несложно осуществить вывод уравнений диффузии, когда D не является постоянным. Уравнение первого закона Фика при этом остается неизменным, а при выводе уравнения второго закона D, как переменную величину не выносят за знак повторного дифференцирования.