1.5 Диффузия при наличии химической реакции

При наличии химической реакции первого порядка (радиоактивного распада, постоянного удержания), диффузионное уравнение принимает вид:

₂

^∂C _{= D} ^∂

^C _{− kC , (22)}

^∂t _∂x ²

_{где k – постоянная необратимой химической реакции 1-го порядка (сек}^-1_).

Уравнение 1 обычно называется уравнением диффузии при наличии стока (исчезновения)

диффундирующих частиц.

_{Замечание. Рассмотрим уравнение:}

^{∂C *}

^∂t

∂ ²C *

^{= D − kC *}

^{∂x 2}

(22а)

_{Подстановка С* = Сехр(-λt) переводит (1а) в уравнение классической диффузии 1б:}

^∂C = D

^∂t

^{∂ 2C}

^{∂x 2}

. (22б)

Действительно:

₂

^∂C _e ^−λt _{− λCe} ^−λt _{= D} ^{∂ C} _e ^−λt _{− λCe} ^−λt

∂t _∂x ²

После сокращения на экспоненту получим Ур.1б.

Решение Ур.1а имеет вид:

_t

^{C * = λ ∫ e −λt Cdt + Ce−λt}

⁰

_{Доказательство:}

5

(22в).

Продифференцировав Ур.1в по t получим:

_*

^∂C _{= λCe}^−λt _{− λCe}^−λt ₊ ^∂C _e ^−λt ₌ ^∂C _e ^−λt

_(22г)

∂t ∂t ∂t

_{а, продифференцировав по х:}

_{2 t 2 2}

2

^{∂ C} _{= λ ∫} ^{∂ C} _e ^−λt _{dt +} ^{∂ C} _e ^−λt

^{∂x 2}

^{0 ∂x}

_∂C

_{∂ 2C}

^{∂x 2}

и т.к.

₂

^{= D}

^{∂t ∂x 2}

t

, то

_{D ∂ C = λ}

_{∂C e −λt dt + e −λt ∂C}

_∂x ²

^∫ ∂t ∂t

_{Замещая из Ур.1г получим:}

∂ ² C ^*

D

^t ∂C ^*

0

*

0

= λ

_{+ ∂C}

∂ ² C ^*

или D

_{= λC * + ∂C}

_{, читд.}

∂x ²

^∫ ∂t ∂t

∂x ^{2 ∂t}

При наличии источника, F, диффундирующих частиц:

₂

^∂C _{= D} ^∂

^C _{+ F , (23)}

^∂t

^{где F – мощность источника.}

^{∂x 2}

При наличии источника (F) и стока (k):

₂

*

^∂C1 _{= D} ^∂

^C1 _{+ F − kC . (24)}

^∂t _∂x ²

Подобное уравнение используется при описании диффузии короткоживущих радиоактивных газов, образующихся при ядерных реакциях. В эманационном методе (диффузия короткоживущего радона-220, с постоянной скорость образующегося из находящегося в исследуемом веществе радия-224) соответственно имеем:

₂

^∂C_{1 = D} ^∂

^C_{1 + λ C}

_{− λ C}

_{, (25)}

^∂t _∂x ²

2 2 1 1

где λ₂ – постоянная распада и С₂ – концентрация радия, λ₁ – постоянная распада и C₁ – концентрация радона. Таким же уравнением будет описываться диффузия при наличии временного удержания атома диффузанта в ловушке (например, в дефекте): λ₁ – постоянная захвата, λ₂ – постоянная освобождения атома.

1.6 Диффузия при наличии адсорбции диффузанта

Если в процессе диффузии происходит локализация диффундирующих молекул, т.е.

молекула проводит некоторое время в связанном состоянии, а потом продолжает свой путь, то:

₂

₋ ^∂C _{= D} ^∂

^C ₋ ^∂B _{. (26)}

^∂t _∂x ^{2 ∂t}

Например, если диффузия сопровождается адсорбцией диффузанта на поверхности микропор в соответствии с законом Ленгмюра, то характеристическая функция адсорбции:

^{B = C}

^{α + β C}

. (27)

В стационарном состоянии выполняется условие

^∂C = 0

^∂t

и уравнение:

6

∂ ²C

^{D = 0}

^{∂x 2}

(28)

носит название уравнение Лапласа (уравнение эллиптического типа).

_{Полный диффузионный поток записывается в виде:}

_{J = − DS ⎛ = ∂C ⎞}

_{, (29)}

_{⎜ ⎟}

^{⎝ ∂x ⎠Σ}

^{где S – поверхность образца, знак Σ – означает, что нас интересует градиент концентрации}

на поверхности тела.

Замечание. В математической физике уравнение для стационарной диффузии при наличии источника (или стока) диффузанта, Q:

∂ ²C 1

_{+ Q = 0}

_∂x ² D

называется уравнением Пуассона, при Q=0, т.е. при отсутствии источников (стоков) диффузанта –

уравнением Лапласа:

_∂ ²_C

_∂x ²

^{= 0 .}

Уравнения Лапласа и Пуассона принадлежат к дифференциальным уравнениям эллиптического типа.