4.2 Условия 2-го рода

В условиях II – рода задается распределение плотности потока диффузанта для каждой точки поверхности как функция координат и времени

_{j = − D} ^∂C

^{Σ ∂n Σ}

^{= ϕ ( x, y, z, t ) , (34)}

_{где n - внутренняя нормаль к поверхности Σ.}

Общий случай:

^j_Σ ^{(τ ) =}

^{f (τ ) .}

Частный случай:

^j_Σ ^{(τ ) =}

^j_c ^{= const}

Если поток за поверхности зависит от координаты, но не зависит от времени, граничное условие называется условием Неймана.

_{Важным частным случаем является отражающая стенка (отсутствие потока через внешние}

_{поверхности образца – условие диффузионной изоляции):}

_{j = 0 .}

В последнем случае граничная поверхность изолирована (диффузия через нее невозможна,

поток диффузанта через такую границу равен нулю).

Если образец имеет две границы (например, тонкая пластина), то в зависимости от условий на его внешних поверхностях различают граничные задачи II-II, I-II и II-I.

В центре шарика (сферы) поток отсутствует, следовательно, в центре – граничное условие

II-го рода (на поверхности I-го рода).

4.3 Условия 3-го рода

В граничных условиях III – рода задают закон конвективного массообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

_{Общий случай:}

Упругая стенка:

^∂C _{+ hC}

^{∂n Σ}

_∂C

^{= ϕ (t ) . (35)}

^{jΣ = − D} _∂n

^{= ±k s (CΣ − Cc ) ; (36)}

^Σ

^{где C}_Σ

^{– концентрация на поверхности; C}_c

– концентрация примеси в окружающей среде, k_s –

коэффициент пропорциональности, характеризующий интенсивность концентрационного взаимодействия среды с заданной концентрацией диффузанта С_с с поверхностью тела. В нестационарных процессах концентрация диффузанта в окружающей среде в общем случае изменяется во времени.

В этом случае на поверхности тела задается плотность потока диффузанта, возникающего из-за разности концентраций диффузанта на поверхности тела и в окружающей среде.

Ур.36 является аналитическим выражением граничного условия III рода, которое широко применяется при аналитических исследованиях массо-переноса в твердых телах, обтекаемых потоками жидкости или газа на границе между телом и флюидом.

10

Уравнение для упругой стенки полностью идентично уравнению Ньютона для теплообмена лучеиспусканием. Оно подразумевает, что концентрация не мгновенно устанавливается на поверхности, а в процессе некоторого времени, т.е. граница оказывает сопротивление диффузионному потоку (иногда более сильное, чем собственно диффузия). В этом случае поток не является постоянным, а изменяется как разность между концентрациями в твердом теле и в окружающем объеме.

Приведем вывод выражения для упругой стенки.

При справедливости закона Генри можно записать следующие выражения для потоков на поверхности твердого тела:

^j₁ ^{= −k}₁^C_{1 x=0} ^→

поток газа из твердого тела;

^j₂ ^{= k}₂ ^{p →}

поток из газа в твердое тело,

^{где k}₁ ^{– константа дегазации; k}₂ ^{– константа насыщения.}

Если бы установилось равновесие, то

^j₁ ⁼

^j₂ ^.

В нашем случае равновесия нет и

^{Внешний поток: k} ₂ ^{p − k}₁^C _x=0 ⁼

^{j1 ≠}

^{jвнеш .}

j₂ .

Внутренний поток:

_{j = − D} ^∂C

^{внут ∂x}

.

_x=0

^{jвнут =}

^Тогда:

j_внеш – т.к. нет накопления примеси на поверхности раздела фаз.

− D ^∂C

^∂x

_x=0

^{= k 2 p}

^{− k1C}

^x=0

или

_D ^∂C

^∂x

_x=0

^{= k1 (C}

^x=0

^{− K p}

^{p ),}

где

^K _p ^{= k}₂ ^k₁ ^.

Мы получили выражение, идентичное общему случаю.

_{Действительно:}

_{C − ⎜ k1 ⎟ C}

_{k1K p}

= −

_{p = const = ϕ (t );}

_{∂C − hc = ϕ (t) .}

^∂ ⎛ ⎞

∂x D ⁰ D ∂x

^{⎝ ⎠} −→h

Граничные условия III-го рода представляют собой общий случай. Из него может быть

_{получены выражения для условий I-го и II-го рода.}

При k

_{→ ∞,}

_{⎜ D ⎟ ⋅}

_{∂C = C − K}

_{p → 0,}

т.е. C

_{= K p}

– условие I-го рода (закон

⎛ ⎞

¹ _⎝ k _⎠ ^−→0 ∂x ^{0 p 0 p}

Генри). При k = 0 , граничное условие II-го рода.

^{При сорбции C x=0 < C равн , при дегазации C x=0 > C равн .}

^{Граничные условия 3-го рода можно разделить на три категории: 1) Линейные; 2)}

Нелинейные; 3) Нестационарные. Следует отметить, что наличие на поверхности (поверхностях) образца сложных химических процессов, в том числе - сопровождающихся выделением или поглощением тепла, приводит к граничным условиям 3-го рода весьма сложного вида.

В общем виде, при исследовании процессов диффузии в двустороннем образце возможно возникновение различных граничных задач: I-I, II-II, III-III, I-II, II-I, I-III, III-I, II-III, III-II, что может существенно затруднить обработку и интерпретацию данных диффузионных экспериментов.

11

К счастью, на практике часто встречаются согласованные (однородные нулевые)

граничные условия:

^C_Σ ^{= 0 – поглощающая стенка;}

^∂C

^∂n Σ

^{= 0 – отражающая стенка;}

^∂C _{+ hC}

^{∂n Σ}

^{= 0 – упругая стенка.}

В первой части Курса лекций мы будем оперировать именно ими.