Методичні рекомендації по виконанню окремих розділів контрольної роботи

У вступі (1 – 2 сторінки) коротко викладається зміст задачі, вирішенню якої присвячена контрольна робота, та значення такої задачі в загальній проблематиці сигналів та процесів телекомунікаційних мереж.

У першому розділі необхідно скласти систему рівнянь описуючих методом контурних токів або вузлових потенціалів задану схему виходячи з того, щоб кількість рівнянь була мінімальною. Рішивши її знайти операторну передавальну функцію схеми.

Метод контурних струмів.

Розрахунок складних електричних кіл методом контурних струмів зводиться до рішення системи рівнянь, складених тільки по другому законі Кірхгофа.

Рис. 1

Сутність цього методу розглянемо на прикладі розрахунку кола, схема якого приведена на рис. 1. Система рівнянь, складених для цього кола по першому і другому законах Кірхгофа, має вид:

I₁ - I₂ - I₃ = 0

Z₁ I₁ + Z₃ I₃ = E₁ (1.1)

Z₂ I₂ - Z₃ I₃ = - E₂

Виключимо з цієї системи рівнянь струм I₃, що протікає в колі, який входить одночасно в два контури. Цей струм дорівнює I₃ = I₁ - I₂ .

П ідставивши його в рівняння, складені по другому закону Кірхгофа, одержимо:

Z₁ I₁ + Z₃ (I₁ - I₂ ) = E₁ (1.2)

Z₂ I₂ - Z₃ (I₁ - I₂ ) = -- E₂

чи

( Z₁ + Z₃ )I₁ - Z₃ I₂ = E₁ (1.3)

-Z₃ I₁ +( Z₂ + Z₃ ) I₂ = -- E₂

Ця система рівнянь дає підставу вважати, що в кожному незалежному контурі протікає свій, так називаний контурний струм, що незалежно від інших струмів створює спадання напруги на тих опорах кола, по яких він протікає. Контурні струми звичайно позначаються буквою I з римськими індексами. У розглянутій схемі, приведеної на рис. 1, напрямок контурних струмів I_I і I_II показано стрілками усередині контурів. Ці струми дорівнюють струмам у колах I₁ і I₂, в яких протікає тільки один з контурних струмів, тобто I_I = I₁ і I_II = I₂.

При розрахунку електричних кіл розглянутим методом крім контурних струмів вводять ще ряд понять: контурні е.р.с., власні і взаємні опори.

Контурну е.р.с. називають алгебраїчну суму усіх е.р.с.. контуру. При цьому обхід контуру роблять по напрямку контурного струму і е.р.с.. беруть зі знаком «плюс», якщо її напрямок збігається з напрямком контурного струму, зі знаком «мінус» - якщо ці напрямки протилежні. Контурні е.р.с.. звичайно позначають буквою Е з римськими індексами, що відповідають номерам контурів.

У розглянутому прикладі контурні е.р.с.. E_I = E₁ і E_II = - E₂ .

Власним опором контуру називають суму всіх опорів, що входять у даний контур. При цьому кожен опір береться з позитивним знаком. Власні опори контурів позначаються буквою Z з подвійними індексами, що відповідають номеру контуру.

У розглянутому прикладі власні опори контурів

Z₁₁ = Z₁ + Z₃ і Z₂₂ = Z₂ + Z₃ .

Взаємними опорами контурів називають опори, що одночасно входять у два різних контури. Вони позначаються буквою Z із двома індексами, перший з який відповідає номеру розглянутого контуру, а другий — номеру контуру, що має загальний опір з розглянутим контуром. Взаємні опори вважаються позитивними, якщо контурні струми, що протікають по цих опорах, мають однаковий напрямок, і негативними, якщо напрямку контурних струмів протилежні.

У розглянутому прикладі взаємний опір першого контуру з другим Z₁₂ = - Z₃, а другого контуру з першим Z₂₁ = - Z₃. Як бачимо, що Z₁₂ =Z₂₁, тобто взаємні опори, що відрізняються одне від іншого порядком індексів, рівні між собою. Це справедливо тільки для електричних кіл, що не містять залежних джерел е.р.с.. чи струму.

З урахуванням введених понять в систему рівнянь (1.3) для розглянутого прикладу можна записати систему рівнянь у вигляді:

Z₁₂ I_I + Z₁₂ I_II = E_I (1.4)

Z₂₁ I_I + Z₂₂ I_II = E_II

Вирішивши цю систему рівнянь, знайдемо контурні струми I_I , I_II . Якщо деякі з цих струмів виходять негативними, то їхні дійсні напрямки будуть протилежні спочатку прийнятим позитивним напрямкам. Знаючи контурні струми, можна знайти струми в колах. Якщо в колі протікає тільки один контурний струм, то дійсний струм в колі буде дорівнює цьому струму. Струми в колах, по яких протікають кілька контурних струмів, рівні їхній алгебраїчній сумі.

У загальному випадку для електричного кола, що містить п незалежних контурів, система контурних рівнянь має вид:

Z ₁₁ I_I +Z₁₂ I_II +…+ Z_1n I_N = E_I

Z₂₁ I_I +Z₂₂ I_II +…+ Z_2n I_N = E_II

_{………………………………………..} (1.5)

Z_n1 I_I +Z_n2 I_II +…+Z_nnI_N=E_N

де Z_kk -власний опір k-гo контуру;

Z_kj -- взаємний опір k-гo і j -го контурів;

E_k — контурна е.р.с.. k - гo контуру.

Вирішуючи цю систему рівнянь за допомогою визначників, знайдемо струм у будь-якому k-м контурі

I_k = Δ _k /Δ, (1.6)

де Δ — визначник системи:

Z₁₁ Z₁₂ … Z_1n

Z₂₁ Z₂₂ … Z_2n

Δ = ……………...

Z_n1 Z_n2 … Z_nn

Цей визначник для пасивних кіл, що не містять залежних джерел е.р.с. і струму, симетричний щодо його головної діагоналі, тому що для таких кіл будь-які взаємні опори Z_kj і Z_jk рівні між собою.

Визначник Δ _k виходить з визначника Δ _k шляхом заміни k -го стовпця вільними членами:

Z₁₁ Z₁₂ …E_I …Z_1n

Z₂₁ Z₂₂ …E_II …Z_2n

Δ_k = …………….

Z_n1 Z_n2 …E_N …Z_nn

Розкладаючи у виразі (1.6) визначник Δ _k по елементах k-ro стовпця, одержимо n.

I = Δ_1k /Δ*E_I + Δ_2k /Δ*E_II + … + Δ_nk /Δ*E_N = Σ Δ_jk /Δ*E_j , (1.7)

j=1

де Δ_jk - алгебраїчне доповнення визначника системи, що виходить шляхом викреслювання в ньому j-й рядка і k-гo стовпця і множення на (-1) ^j+k.

При розрахунку електричних кіл методом контурних струмів доцільно дотримувати наступного порядку:

1.Вибрати незалежні контури кола і вказати позитивні напрямки контурних струмів у них.

2. Обчислити власні і взаємні опори контурів, а також контурні е.р.с.

3. Скласти систему рівнянь для контурних струмів у відповідності з другим законом Кірхгофа.

4. Вирішити отриману систему рівнянь одним з відомих методів визначити контурні струми.

5. Визначити струми в колах.

На закінчення необхідно відзначити, що контурні струми в загальному випадку є розрахунковими величинами, а реально існуючими струмами є струми, що протікають в окремих контурах електричного кола.

Перевагою розглянутого методу контурних струмів є менше число рівнянь у порівнянні з методом рівнянь Кірхгофа і можливість формалізації рішення, що дозволяє розраховувати дуже складні електричні кола з застосуванням обчислювальних машин.