1.2. Теореми додавання та множення ймовірностей

Література: [6, гл. 2, § 1-2; задачі 46, 49, 64, 86]; [7, гл. 2, § 1-3; гл. 3, § 1-5; гл. 4, § 1]; [12, розділ І, п. 1.2]; [13, розділ І, п. 1.3, приклади 1.10-1.12]; [18, розділ І, § 9-13].

Задача 2

1. Ймовірність, що абітурієнт академії стане студентом – 0,4. Якщо три абітурієнти вибираються навмання, то яка ймовірність, що:

а) усі три стануть студентами?

б) жодний не стане?

в) стане лише один?

2. Студент оцінює ймовірність отримання оцінки “відмінно” в 0,2 і “добре” – в 0,4. Яка ймовірність, що студент:

а) не отримає оцінки “відмінно”?

б) не отримає оцінки “добре”?

в) не отримає ні “відмінно”, ні “добре”?

3. Кошик містить чотири м’ячі у зелені цятки, шість м’ячів у зелені смужки, вісім м’ячів у блакитні цятки і два м’ячі у блакитні смужки. Якщо вибрати навмання м’яч із кошика, то яка ймовірність, що м’яч буде:

а) зеленим чи у смужку?

б) поцяткованим?

в) блакитним чи поцяткованим?

4. Рейтинг кредиту. Агенція оцінює стан кредиту, що визначає кредит особи як “відмінний”, “добрий”, “задовільний” і “поганий”. Ймовірність того, що особа отримає відмінний рейтинг – 0,25, добрий – 0,3, задовільний – 0,3. Яка ймовірність того, що особа:

а) не матиме відмінного рейтингу?

б) не матиме ні доброго, ні відмінного рейтингу?

в) матиме не більше ніж добрий рейтинг?

5. Проводилося спостереження над 2 000 споживачів для того, щоб визначити купівельну спроможність стосовно двох типів холодильників. Виявилось, що протягом попереднього літа 500 чоловік придбало марку А, 350 – марку В, а 125 – обидві марки А і В. Якщо людину вибирають навмання з цієї групи, то яка ймовірність того, що буде:

а) придбано марку А?

б) придбано марку В, а не А?

в) придбано марку А або марку В чи обидві?

г) не придбано жодної марки?

6. У групі спортсменів є 20 лижників, 6 велосипедистів і 4 легкоатлети. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму для лижника – 0,96, для велосипедиста – 0,8, для легкоатлета – 0,75. Знайти ймовірність того, що узятий навмання спортсмен виконає кваліфікаційну норму.

7. У таблиці подано кількість голів, забитих протягом однієї ігри та відповідні ймовірності.

Голи за матч (п)	0	1	2	3	4	5
Р(п)	0,08	0,24	0,20	0,15	0,12	0,21

Якщо гра вибирається навмання, то яка ймовірність:

а) що буде забито не більше ніж три голи?

б) буде забито принаймні один гол?

в) буде забито в межах від одного до трьох голів?

8. Ймовірність того, що покупець, зайшовши у певний магазин, придбає що-небудь – 0,3. Якщо двоє покупців заходять до магазину, то яка ймовірність того, що:

а) вони обоє що-небудь куплять?

б) жоден не зробить покупки?

в) один із двох точно зробить покупку?

9. Для отримання кредиту підприємець звертається до двох банків. Імовірність того, що перший банк не відмовить йому в наданні кредиту, становить 0,7, другий – 0,85. Знайти ймовірність того, що:

а) перший або другий банк дасть згоду на кредитування;

б) обидва банки відмовляться надати кредит.

10. Ймовірність того, що ціна окремої акції зростатиме протягом ділового дня дорівнює 0,4. Якщо природа зміни ціни будь-якого дня є незалежною від того, що сталося попереднього дня (днів), то яка ймовірність того, що ціна:

а) зростатиме чотири дні підряд?

б) залишиться такою ж чи спадатиме три дні підряд?

в) зростатиме два з трьох днів?

11. Ймовірність того, що буде зроблена бракована деталь, дорівнює 0,12. Якщо процес характеризується статистичною незалежністю, то яка ймовірність, що:

а) дві деталі, вироблені послідовно, не будуть бракованими?

б) перші три деталі не будуть бракованими, а четверта – буде?

в) 5 деталей, вироблених одна за одною, не будуть бракованими?

12. Податкова декларація на дохід може перевірятися районною або обласною податковою адміністрацією. Ймовірність того, що податкова декларація перевірятиметься обласною адміністрацією – 0,05, районною – 0,04. Рішення щодо перевірки на обласному і районному рівнях приймаються незалежно:

а) яка ймовірність бути перевіреним обома адміністраціями?

б) яка ймовірність пройти тільки районну перевірку?

в) яка ймовірність не бути перевіреним?

13. Група випускників складається на 45 % із жінок. 15 % усіх чоловіків і 20 % жінок мають технічну освіту. Якщо вибирати навмання випускника з групи, то яка ймовірність, що це буде чоловік і він має технічну освіту? Чоловік, що закінчив нетехнічний вуз?

14. На посаду менеджера претендує 40 % жінок і 60 % чоловіків. Серед жінок 30 % мають університетську освіту, а серед чоловіків – 60 %. Яка ймовірність, що вибрана навмання заява буде від:

а) жінки з університетською освітою;

б) чоловіка без університетської освіти?

15. У кожному з трьох ящиків лежить по 10 деталей; у першому ящику 2 деталі браковані, у другому – 3, у третьому – 1. З кожного ящика беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що:

а) всі деталі браковані;

б) серед трьох деталей є принаймні одна стандартна.

16. Ймовірність банкрутства для першої фірми  це додатний розв’язок рівняння для другої фірми ця ймовірність на 25 % більша. Знайти ймовірність того, що із двох фірм збанкрутує хоча б одна.

17. Ймовірність своєчасної сплати податків для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого  0,6, для третього  2/3. Визначити ймовірність своєчасної сплати податків не більше ніж одним підприємством.

18. Ймовірність того, що справним є перший комп’ютер, дорівнює 2/3, другий  3/4, третій  5/6. Визначити ймовірність того, що справними є хоча б два комп’ютери.

19. Ймовірність прибуткової діяльності для першої фірми дорівнює 0,7, для другої  0,5, для третьої ця ймовірність у три рази менша від суми ймовірностей для першої та другої фірм. Знайти ймовірність того, що прибутковими будуть дві фірми.

20. Ймовірність виконання договору для першого підприємства становить 3/5, для другого ця ймовірність є розв’язком рівняння Визначити ймовірність виконання договору хоча б одним підприємством.

21. Ймовірність повного розрахунку за енергоносії для першого заводу дорівнює 0,5, для другого  на 20 % більша. Знайти ймовірність своєчасної сплати за енергоносії одним заводом.

22. Ймовірність виконання договору для першої фірми є розв’язком рівняння , для другої ця ймовірність дорівнює 0,8. Яка ймовірність виконання договору не більше ніж однією фірмою? Обома фірмами?

23. Ймовірність повної сплати податків для першого підприємства 4/5, для другого ця ймовірність задовольняє рівнянню . Знайти ймовірність повної сплати податків одним підприємством.

24. Ймовірність банкрутства для першої фабрики дорівнює 0,2, для другої  на 50 % більша ніж для першої, для третьої дана ймовірність є розв’язком рівняння . Визначити ймовірність банкрутства тільки однієї фабрики.

25. Ймовірність виконання договору для першого підприємства 2/5, для другого  0,8, для третього ця ймовірність становить 60 % від суми ймовірностей першого та другого підприємств. Знайти ймовірність виконання договору тільки двома підприємствами.

26. Перша фірма може одержати заданий прибуток з ймовірністю 0,7, для другої ця ймовірність є розв’язком рівняння Визначити ймовірність одержання заданого прибутку, принаймні однією фірмою.

27. Ймовірність ліквідації заборгованості для першого заводу дорівнює 6/7, для другого  3/4, для третього  0,8. Знайти ймовірність ліквідації заборгованості хоча б двома заводами.

28. Ймовірність своєчасного складання звіту для першого економіста дорівнює 0,9, для другого ця ймовірність є додатним коренем рівняння Визначити ймовірність несвоєчасного складання звіту двома економістами.

29. Ймовірності виконання договору для першого та другого підприємств задовольняють систему рівнянь

Знайти ймовірність виконання договору тільки одним підприємством.

30. Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому верстаті дорівнює 0,2, на другому ця ймовірність на 50 % більша, ніж на першому, на третьому  1/20. На кожному верстаті виготовлено по одній деталі. Визначити ймовірність того, що серед цих трьох деталей буде не більше двох бракованих.