2.4. Нерівність ЧебишОва. Граничні теореми

Література: [6, гл. 5, § 1-2, задачі 241, 243, 245, 247]; [7, гл. 9, § 1-6]; [12, розділ ІІ, 2.4.1.-2.4.5]; [13, розділ ІІ, п. 2.4.1-2.4.2]; [18, розділ V, § 34-35].

Задача 8

1. Кількість води, необхідної протягом доби підприємству для технічних потреб, є випадковою величиною, математичне сподівання якої дорівнює 125 м³. Оцінити ймовірність того, що найближчої доби потреба води на підприємстві перевищить 500 м³.

2. Середні добові витрати електроенергії в населеному пункті для особистих потреб становлять 4 000 кВт/год. Знайти ймовірність того, що найближчої доби витрати електроенергії в цьому населеному пункті не перевищать 10 000 кВт/год.

3. Математичне сподівання річної кількості опадів у даній місцевості дорівнює 55 см. Оцінити ймовірність того, що в цій місцевості випаде за рік не менше 175 см опадів (скористатись лемою Чебишева).

4. Число сонячних днів протягом року є випадковою величиною з Оцінити ймовірність того, що протягом року у цій місцевості буде не більше 200 сонячних днів.

5. Середня швидкість вітру на даній висоті дорівнює 25 км/год. Оцінити швидкість вітру, яку можна очікувати на цій висоті з ймовірністю, не меншою ніж 0,9, якщо км/год.

6. Середня швидкість автомобілів на деякій ділянці дороги дорівнює 80 км/год. Оцінити ймовірність того, що швидкість автомобіля, який тільки проїхав по цій ділянці, виявиться більшою ніж 100 км/год.

7. Ймовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0,8. Чому не можна скористатись нерівністю Чебишова для оцінки ймовірності того, що частка стандартних деталей серед 4 000 виготовлених знаходитиметься в межах від 0,78 до 0,83? Розв’язати задачу при відповідній зміні правої межі.

8. Ймовірність того, що покупець здійснить покупку в магазині, дорівнює 0,65. Чому не можна скористатись нерівністю Чебишова для оцінки ймовірності того, що серед 2 000 покупців число тих, що здійснять покупку, знаходитиметься в межах від 1 260 до 1 360 включно? Розв’язати задачу при відповідній зміні лівої межі.

9. Випадкова величина Х має математичне сподівання і дисперсію Оцінити ймовірність події

10. Випадкова величина – середня арифметична незалежних однаково розподілених випадкових величин Якого максимального відхилення цієї величини від її математичного сподівання можна очікувати з ймовірністю Р = 0,9544?

11. Перевіряється партія деталей. З ймовірністю р = 0,01 деталь може мати дефект А і незалежно від цього з ймовірністю р = 0,03 – дефект В. В яких межах при Р = 0,9973 перебуватиме кількість стандартних деталей із 1 000 деталей?

12. На заводі виготовлено 10 000 однотипних деталей. Ймовірність того, що навмання взятий виріб вищого ґатунку дорівнює 0,75. Визначити за допомогою інтегральної теореми Муавра-Лапласа ймовірність того, що фактичне число деталей відмінної якості відхилиться від свого математичного сподівання не більше ніж на 100 деталей. Отримати оцінку цієї ймовірності за допомогою нерівності Чебишова. Порівняти отримані результати.

13. Дисперсія кожної із 1 800 незалежних випадкових величин не перевищує 4. Оцінити ймовірність того, що відхилення середньої арифметичної цих випадкових величин від середньої арифметичної їх математичних сподівань не перевищить за абсолютною величиною 0,2.

14. Ймовірність того, що покупцю потрібно чоловіче взуття 42-го розміру дорівнює 0,25. Знайти ймовірність того, що відхилення частка покупців, яким необхідне взуття 42-го розміру, від ймовірності 0,25 не перевищить за абсолютною величиною 0,06, якщо очікується 2 500 покупців.

15. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю, не меншою 0,98, можна було б стверджувати, що відхилення відносної частоти від ймовірності події р = 0,95 не перевищить 0,01 (скористатись нерівністю Чебишова)?

16. Дисперсія кожної із 2 500 незалежних випадкових величин не перевищує 5. Оцінити ймовірність того, що абсолютна величина відхилення середньої арифметичної цих випадкових величин від середньої арифметичної їх математичних сподівань не перевищить 0,4.

17. Середнє квадратичне відхилення кожної із 2 134 незалежних випадкових величин не більше 4, оцінити ймовірність того, що абсолютна величина відхилення середньої арифметичної цих випадкових величин від середньої арифметичної їх математичних сподівань не перевищить 0,5.

18. Ймовірність народження дівчинки дорівнює приблизно 0,485. Оцінити ймовірність того, що число дівчаток серед 3 000 новонароджених відрізнятиметься від математичного сподівання цього числа за абсолютною величиною менше ніж на 55.

19. Дисперсія кожної із 1 000 попарно незалежних величин не перевищує 4. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих випадкових величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань за модулем буде менше ніж 2.

20. Довжина виготовлених виробів – випадкова величина, її математичне сподівання дорівнює 90 см, дисперсія – 0,0225 см². Оцінити ймовірність того, що:

а) відхилення довжини виготовленого виробу від її середнього значення за абсолютною величиною не перевищить 0,4 см;

б) виготовлений виріб виявиться за своєю довжиною не меншою 89,7 і не більшою 90,3 см.

21. Ймовірність деякої події А в кожному із незалежних випробувань дорівнює Оцінити ймовірність того, що частість цієї події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною менше ніж на 0,01, якщо проведено:

а) 9 000 випробувань;

б) 75 000 випробувань.

22. Дослід полягає в підкиданні грального кубика 600 разів. Знайти ймовірність того, що частота випадання шістки відхилиться за модулем від ймовірності випадання шістки при одному кидку менше ніж на:

а) 0,01;

б) 0,02.

23. Статистична ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. Визначити ймовірність того, що серед 400 новонароджених частка хлопчиків відрізнятиметься від ймовірності народження хлопчика не більш ніж на:

а) 0,05;

б) 0,01.

24. Ймовірність появи “успіху” в кожному із 400 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти таке додатне число що з ймовірністю 0,876 абсолютна величина відхилення частоти появи “успіху” від його ймовірності не перевищить

25. Планується провести 10 вимірів невідомої величини а. Вважаючи незалежними нормально розподіленими випадковими величинами з знайти якщо . Оцінити використовуючи нерівність Чебишова. Порівняти отримані результати.

26. Для визначення середньої урожайності пшениці на полі площею 10 000 га випадковим чином було відібрано по 1 м² з кожного гектара і визначено урожайність на кожному із них. Оцінити ймовірність того, що знайдена за цими даними вибіркова урожайність відрізнятиметься від середньої урожайності на всьому полі за абсолютною величиною не більше ніж на 0,1 ц. Встановлено, що середнє квадратичне відхилення урожайності для кожного гектара поля не перевищує 3 ц. Як змінився б результат рішення, якщо б середнє квадратичне відхилення урожайності не перевищувало 0,2 ц.?

27. Скільки дослідів з підкиданням монети потрібно провести, щоб з ймовірністю не меншою 0,99 можна було очікувати відхилення частоти появ герба від теоретичної ймовірності 0,5 за абсолютною величиною, менше ніж на 1 %?

28. Середня швидкість автомобілів на деякій ділянці дороги дорівнює 80 км/год. Оцінити, використовуючи нерівність Чебишова, число автомобілів, швидкість яких потрібно виміряти, щоб середня швидкість відрізнялась від 80 км/год. за модулем не більше ніж на 2 км/год. з ймовірністю, що перевищує 0,9.

29. Ймовірність отримати позитивний результат у кожному із незалежних випробувань дорівнює 0,9. Скільки випробувань потрібно провести, щоб з ймовірністю 0,98 можна було очікувати, що не менше 150 випробувань дадуть позитивний результат?

30. Дано послідовність незалежних випадкових величин . Випадкова величина може набувати лише трьох значень: з ймовірностями, рівними відповідно Чи існує для цієї послідовності закон великих чисел?