1.4. Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі

Література: [6, гл. 3, § 1-4; задачі 110, 119, 120, 125, 129, 135, 142]; [7, гл. 5, § 1-4]; [12, розділ І, п. 1.3, 1.3.1-1.3.6]; [13, розділ І, 1.5, приклад 1.14-1.19]; [18, розділ ІІІ, § 16-22].

Задача 4

1. Фірма, що проводить поштове опитування, встановила, що 40 % одержувачів анкет повертає їх назад. Яка ймовірність того, що рівно 8 сімей повернуть анкети, якщо опитують 20 сімей? 15 сімей?

2. Студент складає екзамен, де має дати ствердну або заперечну відповідь. Екзамен складається з 10 запитань. Припустимо, що ймовірність правильної відповіді на кожне запитання дорівнює 0,7, яка ймовірність того, що студент складе тестування (для проходження тесту треба мати 7 чи більше правильних відповідей). Якщо тест складається з 20 питань і потрібно дати 14 чи більше правильних відповідей, то чи зміниться ймовірність складання екзамену?

3. Для кожного з 900 першокурсників імовірність закінчити інститут дорівнює 0,9. Знайти межі, в яких перебуватиме відносна частота кількості першокурсників, які закінчать інститут з ймовірністю 0,88.

4. Встановлено, що під час процесу виробництва ймовірність того, що партія товару матиме дефекти, дорівнює 0,1. Якщо є 10 партій, то яка ймовірність, що дефекти матимуть менше ніж 2 партії?

5. Було встановлено, що 25 % сімей міста мають кабельне телебачення. Яка ймовірність, що з 10 сімей 5 мають кабельне телебачення? Не більше ніж 5?

6. Ймовірність браку виробництва становить 15 %. Яке буде найімовірніше значення браку для 500 виготовлених деталей? Яка ймовірність того, що бракованих деталей буде від 150 до 300? рівно 220?

7. Керівництво застави зібрало дані, які вказують, що 80 % машин, які прибувають на прикордонну заставу  це легкові автомобілі. Якщо до в’їзду прибуло 10 машин, то яка ймовірність того, що 9 з них будуть легкові? від 4 до 8?

8. Митниця дає офіційну оцінку того, що 20 % усіх осіб, що повертаються з-за кордону, не декларують весь товар, на який накладається податок. Якщо випадково відібрати 6 осіб, які повертаються з-за кордону, то яка ймовірність того, що не менше трьох з них не задекларує товар, який оподатковується?

9. Тест складається з 20 питань “правильно-неправильно”. Знайти ймовірність, що студент, який знає 10 правильних відповідей, але вгадує відповіді, що залишилися, методом кидання монети, набере 80 % чи більше правильних відповідей на тестуванні.

10. Служба податків визначила, що 50 % всіх особистих декларацій про прибуток містить принаймні одну помилку. Якщо випадково відібрати 10 декларацій, то яка ймовірність того, що рівно 6 із них міститимуть принаймні одну помилку?

11. Монету підкидають 8 разів. Яка ймовірність того, що точно випаде 6 “решок”? Яке найімовірніше число “решок”?

12. У вищому навчальному закладі 70 % студентів отримують деякий вид стипендії. Якщо для перевірки випадково відібрано 10 студентів, то яка ймовірність того, що більше ніж 8 студентів мають стипендію? Яке найімовірніше число студентів мають стипендію?

13. Кредит споживачів. Банк видає кредитні картки VISA. Було встановлено, що 40 % усіх рахунків оплачуються повністю за їх допомогою. З попереднього року вибрали навмання 6 рахунків. Яка ймовірність, що 4 з них оплачені за допомогою карток VISA? не більше чотирьох?

14. Ймовірність правильної відповіді на одне питання для студента, що складає залік  0,8. Яка ймовірність, що студент знає 18 питань з 30? Яка ймовірність, що він складе залік, якщо для цього потрібно дати правильну відповідь не менше ніж на 70 % питань?

15. Обстеження визначили, що 90 % усіх родин мають принаймні один телевізор. Яка ймовірність того, що з чотирьох родин 3 матимуть телевізор?

16. Ймовірність появи деякої події в кожному з 18 незалежних випробувань дорівнює 0,2. Яка ймовірність появи події принаймні три рази?

17. Ймовірність відмови для приладу дорівнює 0,2. Скільки таких приладів потрібно випробувати, щоб з ймовірністю не менше 0,9 отримати не менше трьох відмов?

18. Ймовірність попадання в десятку при одному пострілі р = 0,2. Скільки потрібно провести незалежних пострілів, щоб з ймовірністю не менше ніж 0,9 влучити в десятку хоча б один раз?

19. За один цикл автомат виготовляє 10 деталей. За яку кількість циклів ймовірність виготовлення хоча б однієї бракованої деталі буде не менша за 0,8? Вважати, що ймовірність бути бракованою для будь-якої деталі дорівнює 0,01.

20. Для баскетболіста ймовірність влучити в корзину при одному кидку дорівнює 0,4. Зроблено 10 кидків. Знайти найімовірніше число влучень і відповідну ймовірність.

21. Унаслідок маркетингових досліджень встановлено, що ймовірність реалізації одиниці продукції дорівнює 0,8. Знайти ймовірність реалізації не менше 75 % із чотирьох одиниць продукції.

22. Підприємство має трьох оптових покупців продукції, для кожного з них ймовірність своєчасного розрахунку з підприємством дорівнює 6/7. Визначити ймовірність своєчасного розрахунку за продукцію:

а) усіма покупцями;

б) не більше ніж одним покупцем.

23. Для забезпечення нормальної роботи банку потрібно, щоб справними було не менше ніж 80 % із наявних 50 комп’ютерів. Яка ймовірність нормальної роботи банку, якщо ймовірність вийти з ладу для кожного з комп’ютерів дорівнює 1/9?

24. Ймовірність появи події А в одному випробуванні на 20 % більша від числа 0,5. Знайти найбільш ймовірне число появи події А та ймовірність цього числа, якщо проведено 5 випробувань.

25. Ймовірність своєчасної реалізації одиниці продукції дорівнює 0,8. Визначити ймовірність своєчасної реалізації не менше ніж 312 одиниць продукції із 400, що надійшли на реалізацію.

26. Ймовірність несплати податку для кожного із 400 підприємців дорівнює 0,1. Яка ймовірність того, що податки не сплатять не більше 37 підприємців?

27. Підприємство має 5 постачальників, ймовірність виконання договору для кожного з них дорівнює 0,7. Визначити ймовірність того, що менше 40 % постачальників виконають договір.

28. Ймовірність випуску бракованого виробу дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що число бракованих виробів буде менше трьох, якщо всього виготовлено 150 виробів.

29. Бізнесмен, вивчивши попит ринку на нові автомобілі, вирішив продати пробну партію з дев’яти таких автомашин. Ймовірність отримати високий прибуток за рахунок кожної машини оцінена в 0,8. Яка ймовірність отримати високий прибуток за рахунок продажу не більше двох автомашин?

30. Ймовірність виконання договору для одного заводу дорівнює 0,4. Яка ймовірність, що договір виконають принаймні три заводи, якщо в місті їх є 4.

2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Індивідуальне завдання 2

2.1. Дискретна випадкова величина та її числові характеристики

Література: [6, гл. 4, § 1, 3, 4, задачі 164, 166, 176, 179, 181, 192, 196, 210, 215, 230]; [7, гл. 6, § 1-5; гл. 7, § 1, 2, 4, 5; гл. 8, § 2-7, § 10]; [12, розділ ІІ, п. 2.1.1-2.1.3; 2.2.1-2.2.5], [13, розділ ІІ, п. 2.1.1, 2.2, приклади 2.1, 2.4].

Задача 5

Задано закон розподілу випадкової величини Х у вигляді таблиці. У першому рядку вказані можливі значення випадкової величини, в другому – відповідні ймовірності:

1. Обчислити математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення і знайти моду.

2. Накреслити графік закону розподілу – багатокутник розподілу і показати на ньому математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення і моду.

1							2
Х	–4	0	4	8	12		Х	5	15	25	35	45
Р	0,1	0,3	0,4	0,1	0,1		Р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

3							4
Х	–6	–1	4	9	14		Х	25	30	35	40	45
Р	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1		Р	0,1	0,4	0,2	0,2	0,1

5							6
Х	1	2	3	4	5		Х	–1	0	1	2	3
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1		Р	0,22	0,07	0,17	0,27	0,27

7							8
Х	–3	–2	–1	0	1		Х	–4	0	4	8	12
Р	0,23	0,26	0,04	0,37	0,1		Р	0,2	0,05	0,5	0,2	0,05

9							10
Х	0	1	2	3	4		Х	0	1	5	10	15
Р	0,15	0,34	0,25	0,06	0,2		Р	0,2	0,25	0,4	0,1	0,05
11							12
Х	–4	–2	1	3	6		Х	10	12	20	25	30
Р	0,3	0,2	0,1	0,1	0,3		Р	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4

13							14
Х	8	12	18	24	30		Х	30	40	50	60	70
Р	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1		Р	0,5	0,1	0,2	0,1	0,1

15							16
Х	21	25	32	40	50		Х	10	12	16	18	20
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2		Р	0,2	0,2	0,4	0,1	0,1

17							18
Х	11	15	20	25	30		Х	12	16	21	26	30
Р	0,4	0,1	0,3	0,1	0,1		Р	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

19							20
Х	13	17	22	27	30		Х	14	18	23	28	30
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1		Р	0,1	0,4	0,3	0,1	0,1

21							22
Х	15	19	24	29	30		Х	22	26	33	40	50
Р	0,1	0,2	0,2	0,1	0,4		Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

23							24
Х	11	13	15	17	19		Х	14	18	24	27	30
Р	0,2	0,2	0,4	0,1	0,1		Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

25							26
Х	23	24	25	26	27		Х	25	30	35	40	45
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2		Р	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

27							28
Х	5	10	15	20	25		Х	5	15	25	35	45
Р	0,1	0,3	0,4	0,1	0,1		Р	0,1	0,1	0,3	0,3	0,2

29							30
Х	3	8	13	18	23		Х	2	3	4	5	6
Р	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1		Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1