Вопрос 11 Модели, построенные с применением Марковских процессов, способы задания систем. Марковская схема с поглощающим состоянием.

Страница 27-28

Поглощающая Марковская цепь имеет поглощающее состояние, достигнув в которого процесс прекращается. Из какого бы состояния процесс ни начинался, при бесконечно большом числе переходов он окажется в поглощающем состоянии с вероятностью, равной единице.

Матрица вероятностей перехода поглощающей Марковской цепи имеет следующий вид:

Граф, моделирующий надёжность дублированной системы с постоянно включенным резервом и обслуживанием. Поскольку отказы устройств и процессы восстановления устройств после отказа подчинены экспоненциальному закону, возле стрелок в место вероятностей указаны интенсивности переходов из одного состояния в другое ( – интенсивность отказа,  – интенсивность восстановления).

Эта Марковская схема отображает функционирование системы до её отказа. При этом в первом состоянии исправны и работают оба блока, во втором – отказал один из блоков, в третьем – отказали оба блока, т.е. отказала система (поглощающее состояние). Над стрелками указаны интенсивности переходов их одного состояния в другое.

Для описания работы этого графа используется система уравнений А.Н. Колмогорова. Система уравнений содержит столько уравнений, сколько вершин имеет граф (за исключением поглощающих). Слева записывается производная вероятности нахождения системы в данном состоянии, справа – многочлен, содержащий столько слагаемых, сколько стрелок входит в данное состояние или выходит из него. Если стрелка направлена из данного состояния, соответствующий член имеет знак «минус», в данное состояние – «плюс». Каждое из слагаемых равно произведению интенсивности перехода на вероятность нахождения системы в состоянии, из которого осуществляется переход. В рассматриваемом случае указанный на рис.2.5 граф описывается двумя уравнениями:

Умножим оба уравнения на dt и проинтегрируем их в пределах [0, ].

В результате решения этих уравнений получим:

Т_СР=Т₀+Т₁

Математическое ожидание времени от момента включения системы до её отказа будет равно: Т_СР=Т₀+Т₁

Вопрос 12 Модели, построенные с использованием эргодических Марковских цепей.

Марковский процесс называется эргодическим (возвратным), если из любого состояния в любое другое состояние можно перейти за конечное число шагов. Эргодический Марковский процесс никогда не завершается, а постоянно переходит из одного состояния в другое с различной частотой, зависящей от вероятностей переходов. Эргодическая Марковская цепь описывает установившиеся процессы в системе. Характерной особенностью этой цепи является то, что вероятности пребывания системы в каком-то состоянии не зависит от времени и численно равно математическому ожиданию доли времени пребывания системы в этом состоянии. Поэтому уравнения А.Н. Колмогорова превращаются в алгебраические.

Эргодические Марковские цепи широко используются для составления моделей надёжности систем, а также в качестве математического аппарата для расчёта других более сложных моделей (см. ниже).

Рассмотрим применение поглощающей Марковской цепи на конкретном примере. Граф, моделирующий надёжность дублированной системы, работающей в установившемся режиме с постоянно включенным резервом и обслуживанием.

Если составить уравнения для всех трёх состояний, то получится система связанных между собой уравнений (любое из этих уравнений можно получить путём комбинации остальных двух). Для получения независимых уравнений составим их для любых двух состояний, например для первого и второго. Третье уравнение – сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях равна единице.

-P₀  + P₁  = 0;

Р₀-()Р₁+Р₂=0;

-P₂  + P₁  = 0.

Р₀+ Р₁+ Р₂ = 1.

Коэффициент готовности системы равен: K_Г = Р₀ + Р₁.