21. Диффузионные пр-сы (непр-е в пр-ве и времени)
– непр,
;
Классич. примеры: броуновское движение;
движение частиц в пр-ве в непр-ых корд-ах;
пр-с описывающий скорость ветра.
– исходный процесс.
;
;
∢
=
(1) – то это МП.
=
;
- плотность вер-ти перехода. Полностью
определяет МП и должна удовл-ть след
св-ам: 1.
,
;
2.
;
3.
(2); (2) явл-ся аналогом ур-я Колмогорова-Чепмена
для непр МП. ]
- начальная плотность (определяет нач
сост пр-са). Тогда
;
переход от МЦ к непр МП. ∢
дискр блуждание на мн-ве целых чисел;
;
↝
=
+
+
;
Б сч что за вр
ч-ца м пер-ся на
либо на
;
]
,
тогда
(*); ]
;
(3);
(4); ]
,
;
:
(5);
(6);
(7);
(8); Для того чтобы дифф-ый пр-с существовал,
пределы (7), (8) д.б конечными. (7), (8)
определяют допуст значения
,
а также тот факт, что
должны согласованно
0; ]
;
↝
;
,
; Если (7), (8) сущ-ют, положительны и
ограничены, тогда непр МП должен удовл
след условиям: 1)
;
2)
;
Вернемся к (*) и заметим
;
;
Подставив это разложение в (*), выразим
ч/з
разделим на
;
↝
;
(9); - параболическое уравнение. Впервые
было получено в теории дифф-ии, а затем
независимо при изучении непр МП-ов (в
теор диф-ии наз-ся ур-е Фонера-Планка,
а в теор МП – прямое ур-е Колмогорова).
Обратное:
;
.
23.
Дискретное случайное блуждание в
радиобиологии.Рассм.
лучевое поражение некоторой биологической
системы, когда некоторый чувствительный
объём облучается радиочастицами,
излучение разрушает молекулы
чувствительного объёма, который
впоследствии может восстанавливаться.
Пусть
-размер
объёма поражения.
– повреждение очередной молекулы.
– восстановление.
– нач. сост.
– поглащ. сост.
.
.
Рассм вер-ть поглощения в замкн. мн-ве.
PI
– вероятность гибели системы пи условии,
что процесс стартует из i. Pi=
.
Pi=
(4)
P0=0
Pn=1.
Pi=
. F(s)=
.
F(s)=
.
F’(s)=
.
.
(6).
.
.
1
.
.
.
Модель можно применить к группам
организмов. Рассмотрим группы из N
организмов: S(n0)
– вероятность, что после облучения
выживут n0
организмов
- биномиальное
распределение