14. Обратное уравнение для пмп. Вложенный мц и пмп.

] ∢ пр-сс описыающий сост с-мы; , , ; В нек случаях посл-ть можно таким образом, что будет МЦ. Тогда процесс исследуется в 2 этапа: сначала исследуется соотв-ая МЦ, а затем на основе результатов такого анализа исходный сл-ый пр-сс. Посл-ть называется вложенной МЦ. ] , , – матрица переходов. Опр: ПМП наз-ся ступенчатый пр-сс 1) ; , пр-сс сохраняет постоянное знач на полуинт-ах; 2) Если , мы ∢ ; им соотв-ет ; Все эти временные величины явл-ся нез-ми и имеют след ф-ю распр: = , тогда (1); Рис – ПМП (значеняи на интервал, не включая справа), (скачки) – образуют МЦ; Рис – вложенный МП (ступень вразброс); – МЦ. Здесь м/у скачками значение м меняться и в не обязательно моменты скачков в отличие от МПМ!!! – ф-я распр-я вр-ни до след скачка. Свойства ПМП сущесвтенным образом определяются св-ми вложенной в него МЦ-пи. - эргодическая, если . ] неотриц ф-я 1) , кроме м.б. их конечного числа (2); 2) (3); Теор1: Если МЦ явл-ся неприводимой апериодической и удовл (2), (3), то такая МЦ явл-ся эргодической. Основные соотношения для ПМП Введем ф-ю , . Из ф-лы полной вер-ти ↝ (4); из (4) ↝ , если (символ кронекера).

, - такой же ПМП, стартующий из сост-я c м-та времени . Используя ф-лу полн вер-ти м записать: (5), ; Для ПМП допускается -ое время пребывания в с-ии , т.е. , т.о. в 1-ом слагаемом ур-я (5) мы искл вер-ть того, что попав в сост , мы останемся в нем навсегда. Введем преобр-ие Лапласа: ; , ; Считаем что – компл. переменная, причем знак вещ части такой-то. Применив преобр Л-са к ур-ю (5), мы получим: + (6); Если в качестве подставить нек значение , то (6) превратится в лин сист алгебраических ур-ий: если , то м , тогда . Определитель (6) б 1 и если , тогда опр-ль с-мы (6) б явл-ся аналитической ф-ей кот = 0 только в отдельных т-акх и след-но, если число с-ий пр-са конечно, то (6) имеет !-ое решение в случае, если ПМП явл-ся регулярным (совершается конечное число переходов за конечное время). Б считать (7); ур-е (5) - обратное, составим прямое ур-е. ] – среднее число пер-ов пр-са на интервале ; Моменты этих переходов образуют процесс восстановления, для которого – является ф-ей восст-я. ; + (8) – прямое уравнение. Теперь применим преобр-ие Лапласа-Стилтиса: ; Применив к (8), получим: = + ; (9) – прямое уравнение. Заметим, что событие м произойти в 2х случаях: 1) и . 2) , за приходов не было. Тогда м окончательно записать + (10); Заметим что (10) полностью определяет при условии что известна ф-я вост-я ; = + (11); Здесь непоср-но получаем выр-е для образа ф-ии ; Эргодические свойства ПМП. , т.о. - мат ож времени пребывания пр-са в сост . ] и – явл-ся эргодической и имеет стац р-ие ; Теор 2: ] - время в теч которого пр-с нах-ся в сост ; Тогда, если и , то (12); Теор 3: ] выполнены усл-я Теор2 и хотя бы для одного : , – не решетчатое распр-е, тогда (13);

19. Модель борьбы двух популяций за пищу. Рассм. Вид S, определим x(t) – число особей вида S в мом. времени t; Развитие вида опр логической кривой ; - интенстивности рождения и гибели особей вида. f(x) – строго возр ф-ия f(0)=0 (сопр. среды);

Рассм виды S₁, S₂, которые борются за один вид пищи. x₁(t) , x₂(t) – числ-ти видов.

(1) – опред детерминированную модель борьбы за пищу.

… в билете процесс РиГ для P_x(t+дt) ; - разностное ур-ие. (3) будем адаптировать (3) к этой модели:

; (4); (3)(4) – вероят-ный аналог (1); m₁₁(t) = E[x(t)] m₁₂(t) = E[x²(t)]; m₂₁(t) = E[y(t)] m₂₂(t) = E[y²(t)]; ₁₁(t) = E[x(t) y(t)] ; применив метод производ ф-ий к (3)(4), получим след. Сист. Ур. Для определенных нами м. о.

(5)