Операции над множествами

1. Объединение. Объединением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами хотя бы одного из множеств А или В: АВ = {x  x А или xВ}.

Из определения следует, что А  АВ и В  АВ. Аналогично определяется объединение нескольких множеств.

Пример 1.3.

а) Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.

Тогда АВ = {2, 4, 5, 6}.

б) Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3:

А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.

Тогда АВ множество чисел, которые делятся на 2 или на 3:

АВ = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, …}.

2. Пересечение. Пересечением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами обоих множеств А и В:

АВ = {x  x  А и xВ}.

Из определения следует, что АВ  А, АВ  В и АВ  АВ. Аналогично определяется пересечение нескольких множеств.

Пример 1.4.

Рассмотрим данные из примера 1.3.

а) Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.

Тогда АВ = {4, 6}.

б) Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3:

А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.

Тогда АВ – множество чисел, которые делятся и на 2 и на 3:

АВ = {6, 12, 18, …}.

Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. Тогда говорят, что множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.

Пример 1.5. Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}, C = {3, 4}. Тогда АВC =.

3. Разность. Разностью множеств А и В называется множество А\В, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В: А\В = {x  x А и xВ}.

Пример 1.6. Рассмотрим данные из примера 1.3.

а) А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда А\ В = {5}, В\А= {2}.

б) А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}. Тогда А\В – множество чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, а В\ А – множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2:

А\ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}.

В\ А= {3, 9, 15, 21, 27, …}.

Определение 1.6. Универсальным множеством называется такое множество U, когда все рассматриваемые в данной задаче множества являются его подмножествами.

4. Дополнение. Дополнением множества А называется множество всех таких элементов x  U, которые не принадлежат множеству А: = U\ A.

Пример 1.7. Пусть А – множество положительных четных чисел. Тогда U – множество всех натуральных чисел и – множество положительных нечетных чисел.

Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Венна

Для наглядного представления множеств и отношений между ними используют диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга (рис 1.1а).

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами.

Рис. 1.1

Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств

Определение 1.7. Алгеброй называется пара множеств А=(М, ), где М – называется основным, несущим множеством или носителем алгебры, а ={f(1), f(2), ...} – множество операций, определенных на множестве М, называемое сигнатурой алгебры.

Определение 1.8. Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств.

В случае алгебры множеств носителем алгебры является множество М, элементами которого являются сами множества. Сигнатура алгебры множеств, – это множество  = {, , \, }.

Определение 1.9. Формулой алгебры множеств являются:

1. Сами обозначения множеств. Например, A, B.

2. Если A и B – формулы, то выражения АВ, АВ, А\В и – формулы.

Например  (ВC) и (А \ В)  C – формулы алгебры множеств.