Количество элементов объединения множеств

Определение 1.10. Мощностью конечного множества А (обозначается ) называется число элементов этого множества.

Например, мощность множества А = {1, 2} равна = 2.

Определение 1.11. Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством-степенью (булеаном) и обозначается B(A).

Например, множество B(A) состоит из 2ⁿ элементов. Таким образом, B(A) = 2ⁿ.

Рассмотрим задачу определения мощности объединения n конечных множеств.

Пусть n=2 и A и B – два пересекающихся множества. Тогда верно следующее соотношение:

АB = А + B – АB . (1.1)

Формула (1.1) справедлива и для случая, когда множества A и B не пересекаются. В этом случае АB= А+ B.

Пусть n =3 и A, B и С – три пересекающихся множества. В этом случае справедливо следующее соотношение:

АBС=А+B+C–АB–АC–BC+АBC. (1.2)

Формула (1.2) справедлива и для случая, когда множества A, B и С попарно не пересекаются. В этом случае АBС= А + B + C .

В общем случае мощность объединения n множеств определяется по формуле:

А₁ А₂ …А_n= А₁+А₂+…+ А_n– (А₁ А₂+ А₁ А₃+ … +

+А_n-1А_n)+ (А₁ А₂  А₃ + … + А_n–2А_n–1А_n) – … + (1.3)

+(–1)^{n – 1} А₁А₂ …А_n.

Если множества А_i попарно не пересекаются, т.е. А_i А_j = , i  j, то получим частный случай формулы (1.3):

А₁ А₂ …А_n= А₁+А₂+…+ А_n.

В общем случае справедливо неравенство

А₁ А₂ …А_n А₁+А₂+…+ А_n.

Пример 1.12. Каждый студент группы – либо девушка, либо блондин, либо любит математику. В группе 20 девушек, из них 12 блондинок и одна блондинка любит математику. Всего в группе 24 студента-блондина, математику из них любят 12, а всего студентов (юношей и девушек), которые любят математику, 17, из них 6 девушек. Сколько студентов в данной группе?

Пусть A – множество девушек, B – блондинов, С – студентов, которые любят математику, тогда ABC – искомое число. AB – множество блондинок, AС – множество девушек, которые любят математику. BC – множество блондинов, которые любят математику. Тогда по формуле (1.2) получаем АBС=20+24+17–12–6–12+1=32. Таким образом, в группе 32 студента.

Пример 1.13. Из 20 спортсменов 1 курса – 10 лыжников, 9 гимнастов и 11 легкоатлетов. 6 занимаются легкой атлетикой и гимнастикой, 7 – лыжами и легкой атлетикой, 6 – лыжами и гимнастикой. Всеми тремя видами спорта занимаются пять спортсменов. Сколько учащихся занимается только лыжами, только легкой атлетикой и только гимнастикой? Сколько учащихся занимается другими видами спорта?

Пусть A – множество спортсменов группы, занимающихся лыжами, В – спортсменов, занимающихся гимнастикой, и C – спортсменов, занимающихся легкой атлетикой. Пусть x – количество спортсменов, занимающихся только лыжами. Тогда x = A–AB–AC+ABC = 10–6–7+5=2. Здесь AB – множество спортсменов, занимающихся и лыжами, и гимнастикой, AС – множество спортсменов, занимающихся и лыжами, и легкой атлетикой, соответственно ABC – те спортсмены, которые занимаются и лыжами, и гимнастикой, и легкой атлетикой. Аналогично находим количество спортсменов занимающихся только гимнастикой: y = B–AB–BC+ABC = 9–6–6+5=2. Количество спортсменов занимающихся только легкой атлетикой: z = =C–CB–AC+ABC = 11–6–7+5=3. По формуле 1.2 найдем количество спортсменов в группе, занимающихся либо лыжами, либо гимнастикой, либо легкой атлетикой: АBС=10+9+11–6–7–6+5= 16. Так как в группе всего 20 спортсменов, то получаем, что 4 из них не занимаются указанными видами спорта.