Счетные множества

Определение 1.13. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным.

Можно сказать также, что множество счетное, если его элементы можно перенумеровать.

Пример 1.17. Следующие множества являются счетными:

1) A₁ = {–1, –2, …, – n, …};

2) A₂ = {2, 2², …, 2ⁿ,…};

3) A₃ = {2, 4, …, 2n,…};

4) A₄ = {…, – n, …, – 1, 0, 1, …, n,…}.

Чтобы установить счетность некоторого множества, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между элементами данного множества и множества натуральных чисел. Для примера 1.17 взаимно однозначное соответствие устанавливается по следующим правилам: для множества A₁: –n  n; для множества A₂: 2ⁿ  n; для множества A₃: 2n  n; счетность множества A₄ установлена в примере 1.16.

Мощность счетных множеств обозначается буквой ₀ ( – «алеф»).

Множества мощности континуума

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Определение 1.14. Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума (мощность континуума обозначается ₁).

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Пример 1.18. Из рисунка 1.5 следует, что множество точек параболы y=x² эквивалентно множеству точек прямой – < x <  и, следовательно, имеет мощность континуума.

Рис. 1.5

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума ₁ больше, чем мощность счетного множества ₀.

Вопрос о существовании промежуточной мощности между ₀ и ₁ называется проблемой континуума. Оказалось, однако, что как утверждение о существовании кардинального числа , такого, что ₀ < <₁ (гипотеза континуума), так и ее отрицание совместимо с общепринятой аксиоматикой теории множеств.

Варианты индивидуальных заданий Вариант № 1

1. Фирма имеет 100 предприятий, причем каждое предприятие выпускает хотя бы одну продукцию вида А, В, С. Продукцию всех трех видов выпускают 10 предприятий, продукцию А и В – 18 предприятий, продукцию А и С – 15 предприятий, продукцию В и С – 21 предприятие. Число предприятий, выпускающих продукцию А равно числу предприятий, выпускающих продукцию В, и равно числу предприятий, выпускающих продукцию С. Найти число предприятий, выпускающих продукцию А, число предприятий, выпускающих продукцию В, и число предприятий, выпускающих продукцию С.

2. Упростить: È È .

3. Является ли множество А={1,2,3} подмножеством множества В={{1},{2,3}}?

4. Придумать пример множеств А, В, С, каждое из которых имеет мощность континуума, так, чтобы выполнялось равенство: А ÈВ = С.

5. Эквивалентны ли множества A = {x: x² – 8x + 15= 0} и B = {2, 3}?

Вариант № 2

1. В группе спортсменов 30 человек. Из них 20 занимаются плаванием, 18 – легкой атлетикой и 10 – лыжами. Плаванием и легкой атлетикой занимаются 11 человек, плаванием и лыжами – 8, легкой атлетикой и лыжами – 6 человек. Сколько спортсменов занимаются всеми тремя видами спорта?

2. Упростить: A(AÈB).

3. В каком случае А АВ?

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества È .

5. Какое из множеств A = {1, 4, 9, 16, 25,…} и B = {1, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8,…} имеет большую мощность?

Вариант № 3

1. В студенческой группе 20 человек. Из них 10 имеют оценку «отлично» по английскому языку, 8 человек – по математике, 7 – по физике, 4 – по английскому языку и по математике, 5 – по английскому языку и по физике, 4 – по математике и по физике, 3 – по английскому языку, по математике и по физике. Сколько студентов в группе не имеют отличных оценок?

2. Упростить: (A\B) È (A\B).

3. Найти все подмножества множества A= {1, 2, 3, 4).

4. Пусть A_n = {0, 1/2ⁿ}. Найти .

5. Доказать, что множества точек контуров всех треугольников эквивалентны.

Вариант № 4

1. В группе 20 человек. На экзаменах по истории, математике и экономике 10 студентов не получили ни одной пятерки, 6 студентов получили пятерку по истории, 5 студентов – по математике и 4 студента – по экономике; 2 студента – по истории и математике, 2 – по истории и экономике, 1 – по математике и экономике. Сколько студентов получили пять по всем предметам?

2. Упростить: (AB) È (AB).

3. Является ли множество А = {1, 2, 3} подмножеством множества

В = {{1}, {2, 3}}?

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (А \ В)  С.

5. Эквивалентны ли множества A = {2^x, 0< x< ¥} и B = {2ⁿ, n = 1, 2, …}?

Вариант № 5

1. В спортивном лагере 100 человек, занимающихся плаванием, легкой атлетикой и лыжами. Из них 10 занимаются и плаванием, и легкой атлетикой, и лыжами, 18 – плаванием и легкой атлетикой, 15 – плаванием и лыжами, 21 – легкой атлетикой и лыжами. Число спортсменов, занимающихся плаванием, равно числу спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, и равно числу спортсменов, занимающихся лыжами. Найти это число.

2. Упростить: (AÈB) È(AÈB).

3. Найти все подмножества множества A= {1, 2, 3, 4).

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (А \ В) È С.

5. Доказать, что множества точек контуров всех треугольников эквивалентны.

Вариант № 6

1. Группе студентов предложено три спецкурса: по мультимедиа, искусственному интеллекту и имитационному моделированию. 22 студента записались на спецкурс по мультимедиа, 18 – на спецкурс по искусственному интеллекту, 10 – на спецкурс по имитационному моделированию, 8 – на спецкурсы по мультимедиа и искусственному интеллекту, 15 – на спецкурсы по мультимедиа и имитационному моделированию, 7 – на спецкурсы по искусственному интеллекту и имитационному моделированию. Пять студентов записались на все три спецкурса. Сколько студентов в группе?

2. Верно или неверно равенство: (A \ B) È(AB) = A?

3. Придумать пример множеств А, В, С, каждое из которых имеет мощность континуума, так, чтобы выполнялось равенство: А ÈВ = С.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (А \ В) È (А \ С).

5. Эквивалентны ли множества A = {x: x²-8x+15= 0} и B = {2, 3}?

Вариант № 7

1. Во время сессии 24 студента группы должны сдать три зачета: по физике, математике и программированию. 20 студентов сдали зачет по физике, 10 – по математике, 5 – по программированию, 7 – по физике и математике, 3 – по физике и программированию, 2 – по математике и программированию. Сколько студентов сдали все три зачета?

2. Упростить: (AÈB) È (AB).

3. Доказать, что множество точек A= {(x, y): y = ½x½, – 1 £ x £ 1} несчетно.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (А \ В) È С.

5. Эквивалентны ли множества A={y: y= x³, 1< x <2} и B={y: y= 3^x, 3< x < ¥}?

Вариант № 8

1. В группе переводчиков 15 человек владеет английским языком, 19 – французским, 8 – немецким. 9 переводчиков владеют английским и французским языком, 7 – английским и немецким, 6 – французским и немецким. 4 перевод­чика владеют всеми тремя языками. Сколько переводчиков в группе?

2. Пользуясь равносильными преобразованиями, установить, верно или неверно равенство: А \ (В È С) = (А \ В) È С?

3. В каком случае А АВ?

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества ( È ) \ (A È B).

5. Эквивалентны ли множества A = {x: x² –3x + 2 = 0} и B = {1, 3}?

Вариант № 9

1. Опрос группы студентов показал, что 70% из них любят ходить в кино, 60% – в театр, 30% – на концерты. В кино и театр ходят 40% студентов, в кино и на концерты – 20%, в театр и на концерты – 10%. Сколько студентов (в %) ходят в кино, театр и на концерты?

2. Верно или неверно равенство: (AB)  (A È В) = В?

3. Привести пример двух множеств А и В, таких, что мощность множества А больше мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества А \ (В С).

5. Эквивалентны ли множества A = {x: x³ – 1 = 0} и B = {x: x² – 3x + 2 = 0}?

Вариант № 10

1. В группе 20 студентов. После медицинского осмотра на дополнительное обследование 14 студентов были направлены к терапевту, 6 – к окулисту, 5 – к ортопеду. К терапевту и окулисту были направлены 3 студента, к терапевту и ортопеду – 3, к окулисту и ортопеду – 2. Сколько студентов было направлено к терапевту, окулисту и ортопеду?

2. Упростить: ( È ) \ (A È B).

3. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (AB)È(C \ (AÈB)).

4. Найти все подмножества множества A= {a, b, c, d}.

5. Эквивалентны ли множества A = {(x, y): y = lnx, 0 < x < ¥} и

B = {(x, y): y = sinx, –¥ <x < ¥}?

Вариант № 11

1. При обследовании рынка спроса инспектор указал в опросном листе следующие данные. Из 1000 опрошенных 811 покупают жевательную резинку «Дирол», 752 – «Орбит» , 418 – «Стиморол», 570 – «Дирол» и «Орбит», 356 – «Дирол» и «Стиморол», 348 – «Орбит» и «Стиморол», 297 – все виды жевательной резинки. Показать, что инспектор ошибся.

2. Упростить: È(B \ (AÈB)).

3. Придумать пример множеств А, В, С, так, чтобы выполнялось равенство: А È В = С, причем А – конечное множество, В и С – счетные множества.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества A  (B È C ) .

5. Пусть A – множество целых чисел, а B – множество четных чисел. Какие из следующих отношений справедливы:

а) A =B;	в) A ÉB;	д) A ËB;
б) A ~ B;	г) A ÊB;	е) A Î B.

Вариант № 12

1. Всем участникам автопробега не повезло. 12 из них увязли в песке – пришлось толкать машину, 8 понадобилась замена колеса, у шестерых перегрелся мотор, пятеро толкали машину и меняли колесо, четверо толкали машину и остужали мотор, трое меняли колесо и остужали мотор. Одному пришлось испытать все виды неполадок. Сколько было участников?

2. Пользуясь равносильными преобразованиями, установить, верно или неверно равенство: А \ (В С) = (А \В) С.

3. Доказать, что множество точек A = {y: y = 2ⁿ, n = 1, 2, …} счетно.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (А \В) С.

5. Эквивалентны ли множества A = {(x, y): y = x³, 1< x <2} и

B = {(x, y): y = 3^x, 3< x < ¥}?

Вариант № 13

1. Из 10 участников ансамбля шестеро умеют играть на гитаре, пятеро – на ударных инструментах, пятеро – на духовых. Двумя инструментами владеют: гитарой и ударными – трое, ударными и духовыми – двое, гитарой и духовыми – четверо. Один человек играет на всех трех инструментах. Остальные участники ансамбля только поют. Сколько певцов в ансамбле?

2. Верно или неверно равенство: С)  С È С ?

3. Записать решение системы неравенств

в виде пересечения двух множеств.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (B ÈC ) .

5. Доказать, что множества A={(x, y): y = x³, 1<x<2} и B={y: y = 3^x, 3< x < ¥} эквивалентны.

Вариант № 14

1. В одной студенческой группе 10 человек могут работать на языке Ява, 10 – на Паскале, 6 – на Си. По два языка знают: 6 человек – Ява и Паскаль, 4 – Паскаль и Си, 3 – Ява и Си. Один человек знает все три языка. Сколько студентов в группе?

2. Верно или неверно соотношение: A C Ì A È В?

3. Придумать пример множеств А, В, С, так, чтобы выполнялось равенство: А È В = С, причем А, В, и С – счетные множества.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества С).

5. Эквивалентны ли множества A = {y: y = 3^x, 0< x < ¥} и

B = {y: y = 3ⁿ, n = 1, 2, …}?

Вариант № 15

1. В день авиации на аэродроме всех желающих катали на самолете, планере, дельтаплане. На самолете прокатились 30 человек, на планере – 20, на дельтаплане – 15. И на самолете, и на планере каталось 10 человек, на самолете и дельтаплане – 12, на планере и дельтаплане – 5 человек. Два человека прокатились и на самолете, и на планере, и на дельтаплане. Сколько было желающих прокатиться?

2. Верно или неверно равенство: (A È B) \ A = B \ A ?

3. Привести пример двух множеств А и В, таких, что мощность множества А больше мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества С È С.

5. Доказать, что множества A = {y: y = lnx, 0 < x < ¥} и

B = {y: y = sinx, –¥ <x < ¥} эквивалентны.

Вариант № 16

1. Все грибники вернулись домой с полными корзинами. У десятерых из них в корзинах были белые грибы, у восемнадцати – подберезовики, у двенадцати – лисички. Белые и подберезовики были в шести корзинах, белые и лисички – в четырех, подберезовики и лисички – в пяти. Все три вида грибов были у двух грибников. Сколько было грибников?

2. Верно или неверно равенство: (A È B) \ (AB) = A È B?

3. Доказать, что множество точек A= {(x, y): y = ½x½, – 1 £ x £ 1} несчетно.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества  (B È C ) .

5. Пусть A – множество точек отрезка [0, 1], а B – множество всех точек числовой оси. Какие из следующих отношений справедливы:

а) A =B;	в) A ÉB;	д) A ËB;
б) A ~ B;	г) A ÊB;	е) A Î B.

Вариант № 17

1. Все туристы взяли в поход консервы. Шесть человек взяли тушенку, пять – сгущенку, восемь – кашу (с мясом). У троих в рюкзаках была тушенка и сгущенка, у двоих – тушенка и каша, у троих – сгущенка и каша, и только в одном рюкзаке лежали все три вида консервов. Сколько было туристов?

2. Верно или неверно равенство: С  С \ (С  (AÈB))?

3. Пусть A – множество решений уравнения x² – 3x + 2 = 0. Записать это множество двумя различными способами.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (BC) \ A .

5. Эквивалентны ли множества A = {x: x² –3x + 2 = 0} и B = {2, 3}?

Вариант № 18

1. Было опрошено 70 человек. В результате опроса выяснили, что 45 человек знают английский язык, 29 – немецкий и 9 – оба языка. Сколько человек из опрошенных не знает ни английского, ни немецкого языков?

2. Верно или неверно равенство: (A È B) \ (AB) = A È B?

3. Найти все подмножества множества A= {x, y, z}.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества С.

5. Счетно ли множество {(x, y): y = 3^x, 0< x < ¥}?

Вариант № 19

1. В туристической группе 10 человек знают английский язык, 10 – итальянский, 6 – испанский. По два языка знают: 6 человек – английский и итальянский, 4 – английский и испанский, 3 – итальянский и испанский. Один человек знает все три языка. Сколько туристов в группе?

2. Упростить .

3. Привести пример двух множеств А и В, таких, что мощность множества А больше мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества С \ (С  (AÈB)).

5. Эквивалентны ли множества A = { 2ⁿ, n = 1, 2, …} и B = {n², n = 1, 2, …}?

Вариант № 20

1. Предприятие объявило набор рабочих на должности токаря, слесаря и сварщика. В отдел кадров обратились 25 человек. Из них 10 человек владели профессией токаря, 15 – слесаря, 12 – сварщика. Профессиями токаря и слесаря владели 6 человек, токаря и сварщика – 5 человек, слесаря и сварщика – 3 человека. Сколько человек владеют всеми тремя профессиями?

2. Верно или неверно равенство: \ = \ ?

3. Привести примеры множеств А, В и С , для которых одновременно выполняются равенства А È В È С = А и А  В  С = С.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества \ .

5. Можно ли построить взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел отрезка [0, 1] и множеством рациональных чисел из этого интервала? Ответ обосновать.

Вариант № 21

1. Оказалось, что в группе туристов 15 человек были раньше во Франции, 19 – в Италии, 8 – в Германии. Во Франции и Италии были 9 туристов, 7 – во Франции и в Германии, 6 – в Италии и в Германии. Во всех трех странах были 4 туриста. Сколько туристов побывало хотя бы в одной из трех стран?

2. Пользуясь равносильными преобразованиями, установить, верно или неверно равенство: А \ (В  С) = (А \ В)  ?

3. Привести примеры множеств А и В, для которых равенство È В =

а) выполняется; б) не выполняется.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества А  (В È ).

5. Найти мощность множества точек окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом 1.

Вариант № 22

1. Группе студентов из 30 человек была предложена контрольная работа из трех задач. Первую задачу решили 15 студентов, вторую – 13, третью – 12. Первую и вторую задачи решили 7 человек, первую и третью – 6, вторую и третью – 5 человек. Все три задачи решили 2 студента. Сколько студентов из группы не решили ни одной задачи?

2. Пользуясь равносильными преобразованиями, установить, верно или неверно равенство: А \ (В È С) = (А \ В)  ?

3. Привести пример двух бесконечных множеств А и В, таких, что мощность множества А больше мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества А  В  .

5. Найти мощность множества точек гиперболы при x Î ( 3, ¥).

Вариант № 23

1. Анализ историй болезней группы из 20 детей показало, что 10 детей болели ветрянкой, 6 – корью, 5 – свинкой. Ветрянкой и корью болели 3 ребенка, ветрянкой и свинкой – 3, корью и свинкой – 2. Всеми тремя болезнями болел один ребенок. Сколько детей не болело ни одной из перечисленных болезней?

2. Верно или неверно равенство: С)    С?

3. Доказать, что множество точек A={(x, y): y = ½x+1½, – 1 £ x £ 1} несчетно.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества (BC) \ A .

5. Пусть A – множество точек отрезка [1, 2], а B – множество точек интервала (0, 3). Какие из следующих отношений справедливы:

а) A =B;	в) A Ì B;	д) A ËB;
б) A ~ B;	г) A Ê B;	е) A Î B.

Вариант № 24

1. В книжный киоск привезли для продажи 100 книг Пушкина, Лермонтова и Тургенева. Книги Пушкина купили 60 человек, книги Лермонтова – 50, книги Тургенева – 30 человек. Книги Пушкина и Лермонтова купили 40 человек, книги Пушкина и Тургенева – 20, книги Лермонтова и Тургенева – 10 человек. Пять человек купили книги всех трех писателей. Сколько человек не купили ни одной из перечисленных книг?

2. Верно или неверно равенство: \ = \ ?

3. Привести примеры множеств А, В и С, таких, что равенство А È В È С = С

а) справедливо; б) несправедливо.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества \ .

5. Можно ли построить взаимно – однозначное соответствие между множеством натуральных чисел N и множеством действительных чисел отрезка [0, 1]? Ответ обосновать.

Вариант № 25

1. Группа научных работников состоит из 100 человек. Из них 70 человек владеют английским языком, 50 – немецким, 40 – французским, 30 – английским и немецким, 25 – английским и французским, 15 – французским и немецким. Хотя бы один язык знает каждый научный работник. Сколько человек владеет всеми тремя языками?

2. Упростить: (A \ (AB)) È В.

3. Привести примеры множеств А, В и С так, чтобы A Î B, В Ì С.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества \ .

5. Можно ли утверждать, что множество всех положительных пятизначных чисел есть счетное множество? Ответ обосновать.

Вариант № 26

1. На курсы иностранных языков записалось 100 человек. Оказалось, что 70 человек будут изучать английский язык, 60 человек – французский и 30 человек – немецкий. Английский и французский собираются изучать 40 человек, английский и немецкий – 20, французский и немецкий – 10. Сколько студентов будут изучать все три языка?

2. Упростить равенство: (A  С )\ (С  (A ÈB)).

3. Привести пример двух различных бесконечных множеств А и В, таких, что мощность множества А равна мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества С).

5. Эквивалентны ли множества A = {x: x³ – 1 = 0} и B = {x: x² – 3x + 2 = 0}?

Вариант № 27

В команде бегунов десять спортсменов бегают на длинные дистанции, восемнадцать – на средние, двенадцать – на короткие. На длинные и средние дистанции бегают пять спортсменов, на средние и короткие – шесть. На длинные и короткие дистанции не бегает никто. Сколько бегунов в команде?

2. Верно или неверно равенство: ÈС)  È È С?

3. В каком случае A ÈB = А В?

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества È(BC ).

5. Можно ли утверждать, что множество всех положительных чисел имеет меньшую мощность, чем множество всех действительных чисел? Ответ обосновать.

Вариант № 28

1. В студенческой группе 25 человек. Чтобы получить допуск на экзамен по данному курсу, необходимо защитить курсовую работу, выполнить лабораторную работу и сдать зачет. Курсовую работу защитили 15 студентов, 20 выполнили лабораторную работу, 17 сдали зачет. Защитили курсовую работу и выполнили лабораторную работу 12 человек. Защитили курсовую работу и сдали зачет 13 человек. Выполнили лабораторную работу и сдали зачет 16 человек. Сколько студентов допущено к экзамену?

2. Упростить:  ( È ).

3. Привести пример двух бесконечных множеств А и В, таких, что мощность множества А меньше мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества \ .

5. Эквивалентны ли множество рациональных чисел отрезка [0, 1] и множество рациональных чисел из этого интервала? Ответ обосновать.

Вариант № 29

1. В группе 20 студентов. Из них 10 дополнительно занимаются музыкой, 6 – теннисом, 5 – китайским языком. Занятия по теннису и по музыке посещают три студента, музыкой и китайским языком занимаются трое, теннисом и китайским языком двое. Всеми тремя видами дополнительных занятий занимается один студент. Сколько студентов не занимается ни одним из перечисленных занятий?

2. Пользуясь равносильными преобразованиями, установить, верно или неверно равенство: А \ (В ÈС) = (А \В)  .

3. Доказать, что множество точек A = {y: y = 2ⁿ, n = 1, 2, …} счетно.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества A  È B .

5. Эквивалентны ли множества A = {(x, y): y = x², 1< x <2} и

B = {(x, y): y = 2^x, 3< x < ¥}?

Вариант № 30

1. В цехе имеется 25 станков, которые могут выполнять три вида операций: А, В и С. Из них 10 станков выполняют операцию А, 15 – В, 12 – С. Операции А и В могут быть выполнены на 6 станках, А и С – на 5, В и С – на 3 станках. Сколько станков могут выполнять все три операции?

2. Верно или неверно равенство: \ = \ ?

3. Привести примеры множеств А, В и С, для которых одновременно выполняются равенства А È В È С = А и А  В  С = С.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера – Венна для множества С.

5. Можно ли построить взаимно – однозначное соответствие между множеством действительных чисел отрезка [0, 1] и множеством действительных чисел интервала (0, 1)? Ответ обосновать.