Дифференциальные уравнения движения твёрдого тела

КР Д.11.

Исследование поступательного и вращательного движений твёрдого тела

Пример выполнения задания

Дано: массы тел . Моменты сил: . Радиусы дисков: , , , Радиусы инерции: . Угловая скорость диска 1 в начальный момент времени, когда t=0: .

Найти: уравнение вращательного движения колеса 2 механизма, а также окружное усилие в точке касания колёс 1 и 2 и натяжение нити в момент времени (рис. 159 а).

Решение:

В данной механической системе колёса 1 и 2 механизма вращаются вокруг неподвижных осей, а поднимаемый груз 3 совершает поступательное движение.

Напишем дифференциальные уравнения движения каждого их этих трёх тел, для чего отделим их друг от друга, разрезав нить, удерживающую груз 3, и разъединив колёса 1 и 2 в точках соприкасания зубцов (рис. 159 б).

К колесу 1 механизма приложены сила тяжести , движущий момент , составляющие реакции подшипника и . Окружное усилие и нормальная реакция колеса 2.

К колесу 2 механизма приложены сила тяжести , момент сил сопротивления , составляющие реакции подшипника , натяжения нити, к которой подвешен груз 3, окружное усилие и нормальная реакция колеса 1.

К грузу 3 приложены силы тяжести и натяжение нити .

Очевидно , и . Составим дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 вокруг оси Х₁: , здесь - главный момент внешних сил, приложенных к колесу 1, относительно оси Х₁:

(Примечание: момент приводит в движение колесо 1 и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый окружным усилием , препятствует вращению колеса 1 и, следовательно, отрицателен).

Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 примет вид:

(1)

Составим дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 вокруг оси Х₂:

, здесь - главный момент внешних сил, приложенных к колесу 2, относительно оси вращения Х₂: .

(Момент, создаваемый окружным усилием , приводит в движение колесо 2 и поэтому принят положительным, а момент силы натяжения нити и момент сил сопротивления препятствуют движению колеса и, следовательно, отрицательны.) Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 имеет вид: (2)

Составим дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3: ,

Здесь - проекция главного вектора внешних сил, приложенных к грузу 3, на ось Z, направленную в сторону движения груза, т.е. вверх: .

Дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3: (3)

В уравнениях (1), (2), (3) неизвестными являются силы и , а также функции - угловые ускорения колёс 1, 2 и ускорение груза 3. Но указанные функции связаны между собой соотношениями: (4) (5) так, что в трёх уравнениях – три неизвестные: , , . Выразим из (4): и подставим в 1:

(6)

Исключим из дифференциального уравнения (2) силу , для чего выразим ( ) из (3): . Учитывая (5), напишем . Тогда (2) приобретает вид: или (7)

Исключим ( ) из (6) и (7), для чего умножим (6) на , а (7) – на : , и .

Сложив соответствующие части полученных уравнений, имеем:

,

Откуда (8)

Выражение (8) определяет в общем виде угловое ускорение колеса 2 механизма. Моменты инерции колёс 1 и 2 относительно осей Х₁ и Х₂:

и .

Учитывая исходные данные, находим: и

Теперь по формуле (8) получаем .

Интегрируем это уравнение дважды, используя следующие начальные условия задачи: при

, , или .

Первый интеграл: .

Второй интеграл: .

Найдем постоянные интегрирования, решив эти уравнения при t=0:

.

Тогда уравнение угловой скорости звена 2 примет вид: , а искомое уравнение вращательного движения колеса 2 имеет вид: .

Натяжение нити найдём, как было показано, из уравнения (3) , или . При с, учитывая (9) и исходные данные, имеем .

Окружное усилие определяем из уравнения (2): .

При .

Теоретическая механика – IV семестр МП Пр№6

Контрольная работа Д-11. Вариант № 3 ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Исследование поступательного и вращателльного движений твёрдого тела.

Механическая система состоит из 3-х звенного механизма (колёса 1и 2) и груза3.

К колесу 1 приложена пара сил с движущим моментом [Нм] или движущая сила [Н]. Начальная угловая скорость колеса 1 (в момент времени t=0) равна .

Момент сил сопротивления ведомого колеса 2 равен . Массы колёс 1 и 2 равны и , а груза 3 .

Радиусы больших и малых окружностей колёс [см]. Радиусы инерции тел 1 и 2 [см].

Найти уравнение движения тела 1 . Определить также натяжения нитей в заданый момент времени и окружное усилие (силу трения) в месте контракта колёс 1 и 2 (если есть касание этих колёс).

Необходимые данные приведены в таблице:

200	100	400	60	-	30	20
60		6100+20t	-	800	0.5	2.5