Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)

При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма елементариних работ активных сил и сил инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении равняется нулю.

Равенство (26.1) является общим уравнением динамики:

(26.1)

Методика решения задач с использованием общего уравнения динамики

1. Показать активные силы.

2. Записать зависимости между линейными и угловыми скоростями точек механической системы.

3. Взяв производную, записать зависимости между линейными и угловыми ускорениями.

4. Ко всем подвижным массам прибавить силы инерции.

5. Сообщить системе бесконечно малое перемещение и записать зависимости между линейными и угловыми виртуальными перемещениями ( эти зависимости такие же, как и между линейными и угловыми скоростями.)

6. Составить уравнение виртуальных работ в виде (26.1) или (26.2).

7. Сократить составленное уравнение (п.6) на виртуальное перемещение и развязать полученное уравнение относительно искомой величины.

Пример 47.5 и 47.14.

Грузы массой и кг подвешены, как показано на рисунках, к системе блоков. Блоки считать сплошными однородными дисками массой кг.

Определить ускорение груза 2 и натяг нитей, пренебрегая массой нитей.

Решение

1. На систему с идеальными связями действуют силы веса.

2. Пусть груз опускается со скоростью . Тогда блок 3 будет иметь угловую скорость . Блок 4, что имеет МЦС в точке Р касания к левой неподвижной части нити, будет иметь угловую скорость , а центр диска 4 тч С будет иметь скорость . Скорость груза 1 будет .

3. Если взять производную по времени t от этих зависимостей, то получим зависимости между ускорением груза 2 и ускорениями груза 1 и точки С, а также угловыми ускорениями блоков: , , , .

4. Прибавим силы инерции ко всем подвижным массам. Грузы 1 и 2 двигаются поступательно, тогда и направленны противоположно ускорениям и .

Блок 3 вращается вокруг неподвижной оси, потому силы инерции сводятся к паре сил с моментом

Направлен этот момент противоположно . Блок 4 двигается плоско-параллельно. Поэтому, если точку С взять за полюс, то силы инерции будут сводится к главному вектору , прилагаемому в точке С и направленному противоположно , и главного момента , который направлен противоположно .

Следовательно, теперь можно считать, что система, состоящая из сил веса, реакций связей и сил инерции, есть уравновешенная система. А потому к ней можно применить принцип возможных (виртуальных) перемещений.

5. Дадим системе бесконечно малое перемещение. Пусть груз опустится на .

Тогда .

Как видим, эти зависимости аналогичные зависимостям между скоростями.

Если , то, зная, что и , получим: ,

откуда .

То есть, если записать зависимости между линейными и угловыми скоростями, то аналогично к ним можно записать зависимости между линейными и угловыми ускорениями и виртуальными перемещениями.

6. Применим общее уравнение динамики – т.е. сумму работ активных сил и сил инерции приравняем к нулю. (6)

Приведем все виртуальные сомножители до одного виртуального перемещения согласно формулам п.5. Раскроем содержание формул активных сил, сил и моментов инерции (согласно с п.4). Приведем все ускорения в этих раскрытых формулах (согласно п.3) к ускорению груза 2. Сократим в уравнении (6) . Тогда уравнение работ (6) примет следующий вид:

.

И ли: , с учетом того, что ,находим ускорение груза 2: [м/сек2]

Полученный ответ положительный, что подтверждает правильность начального предположения о направлении движения системы.

Чтобы найти натяжения нити между грузом 2 и блоком 3, рассмотрим тело 2. К нему приложены силы , которые уравновешены. Используем метод кинетостатики. Тогда , или: . Найдем силу натяжения нити между грузом 2 и блоком 3: [н]

Ч тобы найти натяжения нити между блоками 3 и 4, рассмотрим блок 3. К нему приложены уравновешенные силы и момент пары . Для нахождения натяжения нити составим уравнение моментов вокруг тч О₃: , в раскрытом виде это уравнение примет вид: .

У чтем что: . Тогда натяжение нити между блоками 3 и 4 будет равняться:

[н]

Д ля определения натяжения нитки между грузом 1 и блоком 4, используем метод кинетостатики и сложим векторное уравнение всех сил, действующих на груз 1 в проекции на ось Y. . Покажем проекции всех входящих сил равенства: . Тогда сила натяжения равняется:

[н]

Натяжение левой части нити, что закреплена верхним концом в потолок и касается блока 4 в его мгновенном центре скорости тч Р, найдем из уравнения равновесия блока 4, а именно суммы моментов всех сил относительно точки С: . Покажем составляющие этого уравнения: .

Тогда натяжение неподвижной части нити равняется

[н]

Проверка:

Механическая система с одной степенью свободы, поэтому для развязывания задачи применим теорему об изменении кинетической энергии (А)

Система движется из начального состояния покоя, поэтому .

Нити не растягиваются, поэтому .

Грузы 1 и 2 двигаются поступательно, поэтому . Блок 3 вращается вокруг неподвижной оси О₃ поэтому

Блок 4 осуществляет мгновенное вращение вокруг МЦС: ,

где и . Тогда

Кинетическая энергия всей механической системы, с учетом того, что : ,

Определим работу сил веса, если груз 2 опустится на . Тогда работы внешних сил, прилагаемых к системе (в нашем случае это силы веса), определяются следующими уравнениями по номерам деталей:

, ,

, .

Работа всех внешних сил в целом:

Согласно (А) приравняем сумму кинетических энергий деталей системы и работы всех внешних сил:

Возьмем производную t от обеих частей уравнения: ,

, .

Тогда ускорение груза 2 будет равно: ,

что совпадает с основным способом решения.

Вывод: задача решена верно.

Контрольное задание Д.19. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы.

Пример выполнения задания. Дано: веса блоков и грузов , , радиусы , радиус инерции , коэффициент трения детали 1 . Блок 3 сплошной однородный цилиндр (рис. 201).

Определить: ускорение грузов 1 и 4 и натяжения участков 1-2 и 3-4 нити.