Раздел II Основы аналитической механики

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Если механическая система с идеальными голономними связями находится в равновесии под действием активных сил, то сумма элементарных работ этих сил на возможном бесконечно малом перемещении равняется нулю:

(114.2)

(114.5)

Этот вид уравнения работ отличается от уравнения (114.2) тем, что в нем вместо возможных перемещений введены возможные скорости.

Принцип возможных перемещений в векторной форме: (25.3)

Принцип возможных перемещений в аналитической форме:

(25.4)

Методика решения задач

1. Покажем действующие на механическую систему активные силы. К ним относятся и силы трения.

2.Сообщим одной из точек системы бесконечно малое перемещение (точке, в которой приложена одна из активных сил) и выразим перемещение всех других точек, через это перемещение.

3. Запишем уравнение виртуальных работ в виде (25.3) или (25.4).

4. Сократим полученное уравнение на виртуальное перемещение и найдём неизвестную силу. Пример (№ 9 Б.С. Зернов).

О коло стены сложены 3 одинаковые трубы весом и радиусом каждая. Линии, что соединяют центры сечений труб образуют равнобедренный треугольник с углами у основания. Какую горизонтальную силу , что проходит через центр С, необходимо приложить к правой трубе, чтобы удержать пирамиду из трёх труб в равновесии?

Решение:

Силу можно перенести в тч С. Труба А не будет двигаться, если дать бесконечно малое возможное перемещение точке С . Точка В может получить возможные перемещения и . Запишем уравнение равновесия в аналитическом виде (25.4) : .

Определим составляющие этого уравнения равновесия:

, , , , , , , (приращения , – это дифференциалы этих функций, которые берутся по их переменной ).

С учетом полученных выше составляющих, уравнение равновесия примет вид:

.

Тогда сила, что удерживает в равновесии пирамиду труб, будет равняться: .

С помощью этого метода можно находить реакции связей в задачах статики.

П ример:

Дано: два сочленённых в шарнире С стержня, один опирается на катучую шарнирную опоруВ, второй жёстко заделан в стену в тч А. Сила под углом воздействует на балку ВС. Длины и взаимное положение стержней показаны на рисунке (смотри рисунок). Найти: МА - момент жёсткой заделки в тч А.

Р ешая задачу методом статики, нужно балку расчленить в шарнире С и составить два уравнения равновесия: 1) для СВ: , или: , тогда

2) для АС: , или , тогда .

Решая задачу методом виртуальных перемещений, нужно составить одно уравнение работ. Для этого нужно жесткую заделку в тч А заменить шарниром и парой сил . Тогда под действием пары сил балка АС может повернуться на угол , а точка С сможет пройти бесконечно малое виртуальное перемещение, которое будет перпендикулярно АС: .

Тогда тч В сможет пройти по горизонтали виртуальное перемещение . Но мгновенный центр скоростей для ВС будет в тч В, поэтому , и СВ может повернуться вокруг В на виртуальный угол . Виртуальное перемещение точки К приложения силы : . Уравнение работ будет: ,

где .

Тогда , и момент жесткой заделки в тч А равняется:

.

Замечание : векторы возможных перемещений указывают, в каком направлении из данного положения могла бы двигаться точка. Но на это направление указывают и векторы скоростей точек, если бы система могла бы двигаться. Поэтому:

1) Векторы возможных перемещений направлены так, как скорости точек.

2) Зависимости между возможным перемещением такие же, как между скоростями.

В приведенном примере , но ; , поэтому .

но , аналогично и перемещение .

К онтрольная Работа Д.14.

Применение принципа возможных перемещений к решению задач о равновесии сил, приложенных к механической системе с одной степенью свободы.

Пример выполнения задания Дано: вес груза , жёсткость пружины , радиусы дисков: , , . , , (см рис. 174).

Определить: деформацию пружины, пренебрегая весом звеньев ОА и АВ.