Ігрові моделі в управлінні економічним ризиком

Управління економічним ризиком — це сис­тема заходів, спрямованих на уникнення ризику, зменшення йо­го показників, а також на вироблення стратегії діяльності та прийняття рішень в умовах ризикованої ситуації.

Теорія ігор – це розділ сучасної математики, який вивчає ма­тематичні моделі прийняття рішень в умовах невизначеності, кон­фліктності, тобто в ситуаціях, коли інтереси сторін або протилежні, або не збігаються.

Засновниками теорії ігор вважають американців Дж. фон Неймана (1903-1957) і О. Моргенштерна (1902-1977), які в 40-х роках 20-го століття описали явище конкуренції як деяку "гру".

Гра – це формалізований опис (модель) конфліктної ситуації, яка включає в себе чітко визначені правила дій її учасників, котрі намагаються отримати певну перемогу шляхом вибору конкретної (в певному сенсі – найкращої) стратегії поведінки. При цьому суб'єкт керування (суб'єкт прийняття рішення – СПР) називається гравцем. У грі може брати участь два гравці (парна гра) чи кілька гравців (множинна гра).

В теорії ігор розглядаються ситуації, які пов’язані з прийняттям рішень, в яких два супротивники переслідують цілі, які конфліктують між собою. Типовими прикладами таких ситуацій є реклама товарів, які конкурують на ринку, планування стратегій двох армій, які беруть участь у воєнному конфлікті. Ці ситуації прийняття рішень відрізняються від попередніх, де природа не розглядалась як супротивник.

У ігровому конфлікті беруть участь два гравці, кожний володіє певним набором (скінченним або нескінченним) можливих виборів, які називаються стратегіями. З кожною парою стратегій пов'язаний платіж, який один із гравців виплачує іншому. Такі ігри називаються іграми двох осіб з нульовою сумою, оскільки виграш одного з гравців дорівнює програшу іншого. У такій грі достатньо задати результати у вигляді платежів для одного з гравців.

Позначимо гравців через А та В. Гравець А обирає одну з стратегій ; гравець В – одну з стратегій . Якщо гравець А використає стратегію , а гравець В – , то платіж гравцеві А складатиме , а відповідно гравцеві В – ( ).

Матриця, складена із величин називається платіжною матрицею гравця А, або матрицею гри:

.

Завдання кожного з гравців – знайти найкращу стратегію гри, при цьому вважається що кожен з гравців діє у власних інтересах. Якщо гравець А обрав стратегію , то у найгіршому випадку він отримає виграш . Передбачивши таку можливість, гравець повинен обрати таку стратегію, щоб максимізувати свій гарантований (мінімальний) виграш.

Величина , яка є гарантованим виграшем гравця А, називається нижньою ціною гри. Стратегія, яка забезпечує отримання виграшу величиною називається максмінною.

Якщо гравець А буде притримуватись своєї максмінної стратегії, то у нього є гарантія того, що у любому випадку він виграє не менше ніж .

Аналогічно визначається найкраща стратегія гравця В. Гравець при виборі стратегії в найгіршому варіанті отримає програш . Він обиратиме стратегію, при якій програш буде мінімальним.

Величина , яка є гарантованим програшем гравця В, називається верхньою ціною гри. Стратегія, яка забезпечує отримання програшу величиною називається мінімаксною.

Якщо гравець B буде притримуватись своєї мінімаксної стратегії, то у нього є гарантія того, що у любому випадку він програє не більше ніж .

Фактичний виграш гравця А (програш гравця В) при свідомих діях супротивників обмежений верхньою та нижньою цінами гри. Для матричної справедливо, що .

Якщо , тобто , то спільне значення нижньої та верхньої ціни гри називається ціною гри і позначається . В такому випадку кажуть, що гра має сідлову точку, яка відповідає набору оптимальних стратегій обох гравців. Якщо гра має сідлову точку, то кажуть, що для неї існує розв’язок у чистих стратегіях.

Приклад 7. Дослідити ігри на наявність сідловок точки

а) ; б) .

Розв’язання: а) Обчислимо нижню та верхню ціну гри:

;

.

Оскільки для даної гри , то для неї існує розв’язок у чистих стратегіях, якому відповідає сідлова точка. Ціна гри для обох гравців .

б) Обчислимо нижню та верхню ціну гри:

;

.

Оскільки для даної гри , то для неї не існує розв’язку в чистих стратегіях.

Якщо платіжна матриця не має сідловок точки, тобто , то пошук розв’язку призводить до застосування складної стратегії, яка полягає у змішуванні двох або більше стратегій з певними ймовірностями (частотами). Такий розв’язок гри називається розв’язком у змішаних стратегіях.

Якщо матриця гри має розмірність , то стратегії гравця А задаються наборами ймовірностей , з якими гравець застосовує свої чисті стратегії . Дані ймовірності задовольняють умови: .

Аналогічно, для гравця В маємо набори ймовірностей , з якими гравець застосовує свої чисті стратегії . Дані ймовірності задовольняють умови: .

У такому випадку ( ) розв’язати гру фактично означає знайти невідомі набори ймовірностей та з якими гравці змішуватимуть свої стратегії.

Приклад 8. Розв’язати гру, яка задається матрицею:

.

Розв’язання: Знайдемо нижню та верхню ціну гри:

; .

Знаходження розв'язку у змішаних стратегіях зводиться до знаходження ймовірностей та . Якщо гравець В застосує стратегію (або ), то гравець А отримає виграш, що дорівнює ціні гри, врахувавши також зміст та , отримаємо наступну систему рівнянь:

Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо систему двох рівнянь з двома невідомими, яка має розв’язок:

.

Для іншого гравця отримаємо наступну систему:

.

Отже, розв'язок гри для гравця А полягає у змішуванні стратегій та з ймовірностями та відповідно, для гравця В - у змішуванні стратегій та з ймовірностями та відповідно. Ціна гри для обох гравців .