3.2. Запаздывающее звено

В запаздывающем звене выходная величина начинает изменяться не мгновенно с воздействием входной величины, а некоторое время τ спустя.

Уравнение звена:

y(t) = kx(t - τ), (3.2)

где τ – время запаздывания.

Изображение функции с запаздывающим аргументом x(t – τ) по Лапласу есть . Следовательно, операторное уравнение будет

.

Передаточная функция звена

.

Комплексная частотная характеристика, если раскрыть ее формулой Эйлера через тригонометрические функции,

.

Действительная частотная характеристика U(ω) = k cosω , мнимая частотная характеристика V(ω) = – k sin ω .

Амплитудная частотная характеристика – постоянная величина:

.

Амплитуда не зависит от частоты, входной сигнал не изменяется.

Составляя , обнаруживаем, что

откуда фазовая частотная характеристика:

φ (ω) = – φ .

Для фиксированного времени запаздывания τ зависимость от частоты линейная. Запаздывание по фазе нарастает с увеличением частоты.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

L(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg k.

Переходная функция запаздывающего звена h(t) = k1(t-τ). На выходе звена получается скачок спустя  секунд после воздействия на входе, рис. 3.1.

Рис. 3.1. Переходная функция запаздывающего звена

3.3. Инерционное звено

Другое название - апериодическое звено первого порядка. Описывается дифференциальным уравнением

(3.3)

где Т – постоянная времени звена, k – коэффициент усиления.

Операторное уравнение

(Tp + 1)Y(p) = kX(p).

Передаточная функция

При p = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент усиления. (p = 0 означает отсутствие изменения выходной величины, dy/dt = 0, что превращает инерционное звено в усилительное).

Комплексная частотная характеристика

Действительная и мнимая частотные характеристики

При ω = 0 амплитуда равна коэффициенту усиления, с увеличением ω стремится к нулю.

Амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

Она представляет собой кривую, асимптотически приближающуюся к величине φ (∞) = – π/2.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика:

.

Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области низких частот, ω < 1, асимптотой будет В области высоких частот, ω > 1, асимптотой будет . Прямая L₂ пересекает ось абсцисс при lg ω = lg (k/T), ось ординат при lg ω = 0; L₂ = 20 lg (k/T). Прямые L₁ и L₂ пересекаются в точке сопряжения. Приравняв , найдем частоту сопряжения: (Ее также называют собственной частотой инерционного звена). Общий вид графика представлен на рис.3.2.

Рис. 3.2. Общий вид асимптот ЛАЧХ инерционного звена

Переходная функция находится как решение уравнения (3.3) при x = 1 и у(0) = 0:

.

h(t) возрастает экспоненциально и стремится стать равной k при  ∞.

П

ример 3.1.

Построить график комплексной частотной характеристики инерционного звена для k = 10, Т = 0,1.