17. Матрица коэффициентов прямых материальных затрат, ее продуктивность

По ЭММ Леонтьева (Е-А)X=Y можно определить объемы валовой продукции отрасли Х1, Х2, …, Хn по заданным объемам конечной продукции: Х = (Е-А)‾¹ Y; X=BY, B=(E-A)‾¹. Элементы Bij обратной матрицы B = (E-A)‾¹ называются коэффициентами полных (материальных) затрат, т.е. это затраты i-й отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А – матрицей коэффициентов прямых затрат. Неотрицательную матрицу А (А≥0) называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор Х>0, что каждый объект может произвести некоторое количество конечной продукции. Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, что бы выполнялось одно из перспективных условий: 1) матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е-А)‾¹ и все ее элементы неотрицательны, 2) положительны все главные миноры матрицы (Е – А), 3) матричный ряд

Е + А + А² + … + =∑А® сходятся, причем ∑А®=(Е-А)‾¹. 4) максимальное собственное число матрицы А меньше 1, т.е. Λ(А) < 1. Собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения | А-λЕ |=0.

18. Экономико-математическая модель межотраслевого стоимостного баланса, определение объемов валовой и конечной продукции.

ЭММ межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную зависимость включенных в его систему элементов:

Х1=Х1,1 + Х1,2 +……+ Х1n + Y1

X2=X2,1 + X2,2 +…….+ X2,n + Y2

Xn = Xn,1 + Xn,2 +……+Xn + Yn

Где Х =(Х1, Х2,…, Хn) – вектор валовой продукции, Y =(Y1, Y2,…,Yn) – вектор конечной продукции (конечное потребление и накопление), Хij – производственные материальные затраты j-й отрасли, с учетом обозначений: Aij = Xij / Xj, Xij =AijXj.

Система уравнений перепишется в виде:

Х1=А1,1*Х1,1 + А1,2*Х1,2 +…..+ А1,n*X1,n + Y1

X2=A2,1*X2,1 + A2,2*X2,2+…..+A2,n*X2,n + Y2

Xn=An,1*Xn,1 + An,2*Xn,2 +…..+An,n*Xn,n +Yn

Или в более компактном виде: Xi = ∑Aij*Xj + Yi, где i=от 1, до n.

Запись в матричной форме: Х = АХ + Y, где А=(Аij) размерностью n*n

Именно в этих двух формах записи и используется ЭММ межотраслевого баланса, которую называют моделью Леонтьева. Элементы Аij матрицы А называют коэффициентами прямых (материальных) затрат. Это – затраты i-й отрасли на единицу (рубль) валовой продукции j-й отрасли. В матричной форме модель Леонтьева записывается Х-АХ=Y или (Е-А)Х=Y.

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов: -- задавая для каждой отрасли величины валовой продукции (Xi) можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли: Y=(E-A)X -- задавая величины конечной продукции всех отраслей (Yi) можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi): X=(E-A)^-1 Y

19. Матрица коэффициентов полных материальных затрат, способы ее определения.

Матричная форма модели Леонтьева (E-A)X=Y. По ней можно определить объемы валовой продукции отраслей X1,X2,…,Xn по заданным объемам конечной продукции: X=(E-A)ˉ¹ Y X=BY B=(E-A)ˉ¹. Элементы bij обратной матрицы B=(E-A)ˉ¹ называются коэффициентами полных (материальных) затрат. Это затраты i-той отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат.

По ЭММ Леонтьева (Е-А)X=Y можно определить объемы валовой продукции отрасли Х1, Х2, …, Хn по заданным объемам конечной продукции: Х = (Е-А)‾¹ Y; X=BY, B=(E-A)‾¹. Элементы Bij обратной матрицы B = (E-A)‾¹ называются коэффициентами полных (материальных) затрат, т.е. это затраты i-й отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А – матрицей коэффициентов прямых затрат. Неотрицательную матрицу А (А≥0) называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор Х>0, что каждый объект может произвести некоторое количество конечной продукции. Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, что бы выполнялось одно из перспективных условий: 1) матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е-А)‾¹ и все ее элементы неотрицательны, 2) положительны все главные миноры матрицы (Е – А), 3) матричный ряд

Е + А + А² + … + =∑А® сходятся, причем ∑А®=(Е-А)‾¹. 4) максимальное собственное число матрицы А меньше 1, т.е. Λ(А) < 1. Собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения | А-λЕ |=0.