6. Общая классификация задач оптимального программирования и методов их решения.

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта. Слова «наилучшим образом» в принципе оптимальности на практике означают – выбор некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать, оценивать эффективность управленческих решений Х, т.е. выбрать критерий оптимальности. Критерии оптимальности: минимум себестоимости продукции, максимум прибыли от реализации, максимум рентабельности и др. Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия» на практике означают, что на выбор управленческого решения Х накладывается ряд ограничений, т.е. выбор Х осуществляется из некоторой области допустимых решений D. Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: максимизировать или минимизировать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математическая запись критерия оптимальности –ЦФ оптимизационной модели.

Max(min) f(x1,x2,…,xn)

g1(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b1

g2(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b2

gn(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } bn

xi ≥ 0, i=1,¯ n

Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по следующим признакам.

1. По характеру взаимосвязи между переменными —

а) линейные,

б) нелинейные.

В случае а) все функциональные связи в системе ограничений и функция цели — линейные функции; наличие нелинейности в хотя бы одном из упомянутых элементов приводит к случаю б).

2. По характеру изменения переменных —

а) непрерывные,

б) дискретные.

В случае а) значения каждой из управляющих переменных могут заполнять сплошь некоторую область, в случае б) все или хотя бы одна переменная могут принимать некоторые целочисленные значения.

3. По учету фактора времени —

а) статические,

б) динамические.

В задачах а) моделирование и принятие решений осуществляются в предположении о независимости от времени элементов модели в течение периода времени, на который принимается управленческое решение; в случае б) такое предположение достаточно аргументировано принято не может быть.

4. По наличию информации о переменных —

а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные),

б) задачи в условиях неполной информации (случай риска),

в) задачи в условиях неопределенности.

В задачах б) отдельные элементы являются вероятностными величинами, однако дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения вероятностей; в случае в) можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятностях исходов.

5. По числу критериев оценки альтернатив —

а) простые (однокритериальные),

б) сложные (многокритериальные) задачи.

Задачи а) — задачи, где экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удается специальными процедурами (например «взвешиванием приоритетов») свести многокритериальный поиск к однокритериальному; б) многокритериальная оптимизация — выбор управленческого решения по нескольким показателям.

На практике многокритериальный поиск тем или иным способом сводят к однокритериальному: методом последовательных уступок, способом выделения «главного» показателя, оптимизацией по обобщенной целевой функции и др.

Например, при оптимизации по обобщенной целевой функции она может быть записана следующим образом:

(суммирование k = 1, 2, ..., s),

где f_k - k-я целевая функция;

f_{k норм} - нормирующее значение k-й целевой функции;

α_k — коэффициент веса k-й целевой функции;

s — число критериев (целевых функций).

При этом перед составляющими целевой функции, которые максимизируются, ставится знак плюс, перед минимизируемыми - минус. Значения f_{k норм} принимаются при максимизации k-й составляющей целевой функции: f_{k норм} = f_{k max} при ее минимизации — f_{k норм} = f_{k min}.

Коэффициенты веса каждого оптимизируемого показателя могут быть определены методом экспертных оценок, например процедурой непосредственного назначения экспертами коэффициентов веса. В этом случае каждый эксперт оценивает сравнительную важность рассматриваемых показателей, которые будут входить в целевую функцию. Для каждого j-го показателя i-й эксперт должен назначить коэффициент веса a_ij, так чтобы сумма всех коэффициентов веса, назначенных одним экспертом для различных показателей, равнялась единице:

Σa_ij = 1, i = 1, 2, ..., n,

где n — число экспертов.

В качестве коэффициента веса k-й целевой функции a_k можно взять среднее значение a_ik по всем экспертам.

С учетом сказанного в дальнейшем будем рассматривать однокритериальные задачи оптимизации.

Сочетание признаков 1-5 позволяет группировать (классифицировать) в самом общем виде задачи и методы оптимального программирования, например:

- 1а2а3а4а5а — задачи и методы линейного программирования;

- 1б2а3а4а5а - задачи и методы нелинейного программирования;

- 1а2б3а4а5а - задачи и методы целочисленного программирования и т.д.