4. Общая задача оптимального (математического) программирования, основные элементы и понятия.

5. Классическая задача оптимизации, метод реализации.

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта. Слова «наилучшим образом» в принципе оптимальности на практике означают – выбор некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать, оценивать эффективность управленческих решений Х, т.е. выбрать критерий оптимальности. Критерии оптимальности: минимум себестоимости продукции, максимум прибыли от реализации, максимум рентабельности и др. Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия» на практике означают, что на выбор управленческого решения Х накладывается ряд ограничений, т.е. выбор Х осуществляется из некоторой области допустимых решений D. Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: максимизировать или минимизировать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математическая запись критерия оптимальности –ЦФ оптимизационной модели.

Max(min) f(x1,x2,…,xn)

g1(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b1

g2(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b2

gn(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } bn

xi ≥ 0, i=1,¯ n

Это общая задача оптимального (математического) программирования, другими словами, математическая модель задачи оптимального программирования в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности, системности и адекватности.

Оптимизационные модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяю­щих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального реше­ния, отвечающего критерию оптимальности.=В общем виде математическая постановка задачи матем программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f (х₁, х₂, ..., х_n) при условиях g_i(х₁, х₂, ..., х_n)  b_i; (i =1,2,…m), где f и g_i; – заданные функции, а b_i – некоторые действительные числа. =задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. если все функции f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования (ЗЛП) ставится так:

Найти вектор , максимизирующий линейную форму

(1)и удовле-щий условиям

(3)Линейная

(2)

функция называется целевой функцией задачи. Условия (2) называются функциональными, а (3) - прямыми ограничениями задачи.

Вектор , компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем называть планом, или допустимым решением ЗЛП. Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию f(x), называется оптимальным планом задачи

где - оптимальное решение ЗЛП. =Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: max(min) максимизировать или минимиз-ать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математич запись критерия оптимальности -ЦФ.

Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности, адекватности и оптимальности экономико-математического моделирования и решением задачи оптимального программирования.

Иногда невозможно получить решение по оптимизационной модели: область допустимых решений может оказаться пустым множеством (задача противоречива) или целевая функция является неограниченной на области определения.

Первый случай связан с некорректностями в постановке экономической задачи и (или) разработанной ЭММ. Например, имеющимся объемом ресурсов заведомо невозможно выполнить даже те минимальные объемы работ, которые закладываются в ограничения как необходимые минимальные плановые задания. Если в данной ситуации все же необходимо найти решение задачи, то следует построить непустое множество допустимых решений, исключив одно или несколько ограничений, т.е. фактически соблюсти принцип альтернативности.

Второй случай обычно означает, что ЭММ разработана некорректно и некоторые существенные ограничения в ней отсутствуют.

Задача оптимального программирования должна включать в себя 2 части: 1) целевая функция: математическое выражение цели решаемой экономической задачи (критерий оптимальности, функциональности); 2) условия и ограничения задачи: система уравнений и неравенств, позволяющих смоделировать экономический объект. Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: max(min) максимизировать или минимизировать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математическая запись критерия оптимальности -ЦФ. Max(min) f(x)=f(x1,x2,…,xn),x є D.

К задачам линейного программирования сводится широкий круг планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения. Нужно определить максимум линейной целевой функции (линейной формы)

при условиях

при.

Иногда на x_i также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя её во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f). Программа в экономике включает следующие составные части:1) цель; 2) средства для достижения цели. Программирование включает в себя еще и способ (алгоритм) достижения цели оптимального программирования.