22. Өске қатысты инерция моментін есептеу(таяқша). Гюйгенс-Штейнер теоремасын қорыту.
Материялық нүктелер массаларының олардың айналу өсіне дейінгі
қашықтықтарының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең I шамасы
осы өске қарасты жүйе инерциясының моменті деп аталады. Егер масса
үздіксіз таралған болса, онда қосынды таңбасы интеграл таңбасымен
алмастырылады, ал инерция моменті мынадай түрде жазылады:
(2)
Дененің инерция моменті – ілгерілемелі қозғалыс кезіндегі массаға
теңдес физикалық шама; ол дененің формасына, мөлшеріне, массасына жəне
оның дене ішінде таралуына, сонымен қоса айналу өсін таңдауға тəуелді, ол
айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерттілігін сипаттайды.
L = Iw(1)
Айналмалы қозғалыстың динамикасының негізгі заңын (1)-ді ескере
отырып айналу өсіне проекциясында былай жазуға болады
(3)
мұнда М – сыртқы күштердің қосынды моментінің айналу өсіне проекциясы.
Қозғалмайтын өсті айнала қатты дененің айналуының жекелеген
жағдайында (113) теңдеу мына түрге өзгереді:
(4)
немесе
(5)
мұнда β – бұрыштық үдеу.
(5)теңдеу қозғалмайтын өске қарасты қатты дененің айналмалы
қозғалылыс динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады.
Əрбір денеде, дененің қозғалыста не тыныштықта болғанына қарамастан
массасы болатындығы сияқты, ол дененің айналуда ма, немесе тыныштықта
тұрғанына қарамастан, кез келген өске қарасты белгілі бір инерция моменті
болады.
Мысал ретінде, диск жазықтығына перпендикуляр жəне оның центрі
арқылы өтетін өске қарасты, яғни ОО өсіне қарасты, біртекті дискінің
инерция моментін табайық.
Бұл үшін (2) формуласын қолданамыз да мынаны табамыз:
мұнда ρ – дискінің тығыздығы, ал dV – сақиналық қабаттың көлемі.
мұнда b – дискінің қалыңдығы.
Бұл формулардан, дискінің m массасын енгізе отырып біржолата мынаны
аламыз:
мұнда Ro – дискінің радиусі.
Қарастырылған мысалдағы инерция моментін табу дене біртекті жəне
симметриялы болғандықтан, ал біз инерция моментін симметрия өсіне
қарасты іздегендіктен тым қарапайымдау болды. Егер де біз дискінің
инерция моментін, мысалы, дискіге перпендикуляр жəне оның шетімен
өтетін O'O' өсіне қарасты іздеген болсақ, бəлкім, есептеулер əлдеқайда
күрделірек болып шығар ма еді. Мұндай жағдайларда инерция моментін
табу, егер де Гюйгенс – Штейнер теоремасын пайдаланса, анағұрлым
жеңілденер
еді: еркін өске қарасты
инерция
моменті берілген өске
параллель жəне дене массасының центрінен өтетін өске қарасты Ic инерция
моментін дененің m массасы мен өстер аралық а қашықтығы квадратының
көбейтіндісіне қосқандағы шамаға тең:
23. Инерциялық емес санақ жүйелері: Ілгермелі үдеумен қозғалатын жүйедегі инерциялық күштер. Айналмалы қозғалыстағы инерциялық емес санақ жүйелері. Центрден тепкіш күш.Кориолис күші.
Инерциялық емес санақ жүйесі деп, инерциялық санақ жүйесіне
салыстырғанда үдемелі қозғалатын жүйені айтады.
инерциялық емес
санақ жүйесінде дененің үдеуін «кəдімгі» əсерлесу күшінен басқа, инерция
күші деп аталатын күш те туғыза алады деп есептелінеді. Ньютонның екінші
заңы бұл жағдайда өзгеріссіз алынады, бірақ əсерлесу күшімен бірге инерция
күшін де ескеруіміз керек. Осыған байланысты инерциялық емес санақ
жүйелерінде Ньютонның екінші заңы былай беріледі.
Қандай да бір дененің инерциялық емес жəне инерциялық санақ
жүйелеріндегі қозғалыс теңдеулерін жазайық:
мұндағы
«кəдімгі»
əсерлесу
күші
екі
санақ
жүйелерінде
де
бірдей;
жəне
а
–сəйкесінше
инерциялық
емес
жəне
инерциялық
санақ
жүйелеріндегі
үдеулер.
(2) жəне (3) теңдеулерден инерция күшін табуға болады:
Инерциялық санақ жүйесіне салыстырғандағы үдеу абсолюттік үдеу деп,
ал
инерциялық
емес
санақ
жүйесіне
салыстырғандағы
үдеу
салыстырмалы
үдеу деп аталады.
Түзусызықты ілгерілемелі қозғалыстағы инерциялық емес санақ
жүйелері. Инерциялық емес санақ жүйесі, инерциялық санақ жүйесінің х өсі
бойымен түзусызықты қозғалсын делік (1 сурет).
Қандай да бір нүктенің координаталарының арасындағы байланыс
мынадай формулалармен беріледі
Бірнеше түрлендірулерден кейін келесі формулаларды аламыз
мұндағы
v
мен
а
сəйкесінше
абсолюттік
жылдамдық
жəне
үдеу,
мен
тасымал
жылдамдық
жəне
үдеу,
ал
мен
a′
салыстырмалы
жылдамдық
жəне үдеу.
(4) өрнекті қолдана отырып (10) формуланың көмегімен
түзусызықты қозғалыстағы инерциялық емес санақ жүйесіндегі инерция күші
өрнегін былай жазуға болады
немесе
векторлық түрде
Айналыстағы координат жүйесінің бір нүктесінен екінші нүктесіне
орын ауыстырғанда нүктенің тасымал жылдамдығы өзгереді. Сондықтан,
егерде тіпті нүктенің қозғалыс кезіндегі салыстырмалы жылдамдығы
өзгермегенмен де, ол тасымалдан өзгеше үдеуді қабылдайды. Осыған
байланысты, айналыстағы кооридинат жүйесі үшін абсолюттік үдеу үшін
өрнекке тасымал жəне салыстырмалы үдеулердің қосындысынан өзге, ак
кориолис үдеуі деп аталатын тағы бір үдеу кіреді:
Мұндағы
Тасымал үдеуді басқаша түрде көрсетуге болады
айналу
өсіне перпендикуляр вектор (12 сурет).
Сонымен,
тасымал үдеу ценртгетарқыш болып табылады.
2-
suret
(4) жалпы формула бойынша (13) өрнектің көмегімен айналыстағы
координат жүйесіндегі инерция күшін табуға болады
Тасымал
үдеумен
байланысты
инерция
күші
ценртден
тепкіш
инерция күші деп аталады. Ол айналу өсінен əрі радиус бойымен бағытталған
(2
сурет). Кориолис үдеуімен байланысты
инерция
күші
Кориолис күші деп аталады. Ол бұрыштық жəне салыстырмалы
жылдамдықтардың векторлары жататын жазықтыққа перпендикуляр.