28. Выявление гетероскедастичности

Существуют различные способы выявления гетероскедастичности. В тесте Голдфелда-Квандта в предложении, что i ~ Xi,наблюдения упорядочиваются по возрастанию х. Берутся первые n´ и последние n´ наблюдений, и для них по отдельности строятся регрессии, и оцениваются суммы квадратов остатков ESS1 и ESS2 соответственно.

Отношение ESS2/ ESS1 ~ F(n´-k, n´-k), где k – число объясняющих переменных в исходном уравнении регрессии. Число n´ можно взять примерно равным 1/3n. Проверяется нулевая гипотеза отсутствия гетероскедастичности H0: 1=2=…=n.

Если отношение ESS2/ ESS1 превышает критическое значение Fc распределения Фишера для выбранного уровня значимости ᵟ, то гипотеза H0 отвергается, принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности.

Среди других тестов, основанных на априорных структурных ограничениях, можно назвать ранговой корреляции Спирмена, тест Глейзера.

Тест Уайта не делает каких-либо предположений о структуре гетероскедастичности. В этом его универсальность. Тест основан на идее, что если есть гетероскедастичность, то дисперсии ошибок должны зависеть от регрессоров, их квадратов и парных произведений. Поскольку дисперсии ошибок неизвестны, они в регрессии заменяются на квадраты остатков. Было доказано, что асимптотически при гипотезе H0: ²1=²2=…=²n имеет место nR²~X² [m-1], где R² - коэффициент детерминации, m – число регрессоров в уравнении для квадрата остатка. Тест Уайта реализован, например, в эконометрическом пакете EVIEWS.

29. Способы корректировки гетероскедастичности.

Для модели с гетероскедастичностью оценка матрицы ковариаций коэффициентов, оцененных по методу наименьших квадратов, оказывается смещенной. Учесть влияние гетероскедастичности можно либо путем преобразования модели, либо с помощью поправок стандартных ошибок коэффициентов.

1) Метод взвешенных наименьших квадратов. Рассмотрим уравнение парной линейной регрессии

yi= + βxi+i, i,...,n.

Допустим, для каждого наблюдения i стандартное отклонение i известно. Разделим обе части уравнения на i и запишем его в виде y῀i=yi/i+βxi/i+i/i.

Если теперь перети к новым переменным .

То оно примет вид причем =E(i/i)=1, i=1,2,…,n. Значит, в этой модели дисперсии ошибок постоянны, т.е. для нее емеет место гомоскедастичность.

Однако, обычно значение i не известно. Заменой i может служить величина, которая пропорциональна i, например, i=λxi, причем значение λ не требуется. Гетероскедастичность в этом случае устраняется путем деления обеих частей уравнения на xi.

2) Коррекция стандартных ошибок. Если тест Уайта отвергает нулевую гипотезу, он не дает каких-либо конструктивных способов преодоления гетероскедатичности. Но им было предложено поправить оценку Vˆ (βˆols)=e´e/n-k(X´X)‾ˡ. По этой формуле, например, пакет EVIEWS рассчитывает стандартные ошибки коэффициентов.

Обозначим i-ю строку матрицы Х через x´i= (xi1, xi2,…, xik). Для диагональной матрицы Ω показано, что

Vˆ(βˆols)=n(X´X)‾ˡ(1/n e²ixix´i) (X´X)‾ˡ является состоятельной оценкой ковариационной матрицы V(βˆols). Здесь xi=(x´i)´ - i-я строка матрицы Х, записанная в виде столбца. Стандартные ошибки коэффициентов, вычисленные по этой формуле, называются стандартными ошибками в форме Уайта.

В более общем случае, когда ковариационная матрица содержит ненулевые элементы не только на главной диагонали, но и на соседних диагоналях, также предложена формула для скорректированной оценки ковариационной матрицы. Вычисляемые по ней стандартные ошибки носят название стандартных ошибок в форме Ньюи-Веста.