11) Средняя арифметическая, ее свойства.(додел надо но не знаю как)
1.Ср.Арифметическая простая(невзвешанная) - эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.
1.2.Ср. Арифметическая (взвешенная)- при расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторятся, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчет средней производиться по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными. x=сумма хi fi/cумма fi
Св-ва средней арифметической, обладает некоторыми математическими св-ми, более полно раскрывающимися ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах. Рассмотрим эти св-ва:
1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: сумма (xi-x с чертой)*fi=0
2. Если каждое индивид значение признака умножить или разделить на одно и тоже постоянное число, то средн увеличится или уменьшится во столько же раз.
3. Если к каждому индивид значению признака прибавить одно и тоже постоян число, то ср величина измениться соответств на одно и тоже самое число.
4. Если веса f ср взвешенной умножить или раздел на одно и тоже число, то ср не измениться.
12) Структурные среднее мода и медиана.
Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называются структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода – величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Другими словами, модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения. Мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака.
В дискретном ряду распределения мода – это варианта, которой соответствует наибольшая частота.
В интервальном ряду распределения сначала определяют модальный интервал (т.е. интервал, содержащий моду), которому соответствует наибольшая частота. Конкретное значение моды определяется формулой:
xMo – начальное значение модального интервала
iMo – величина модального интервала
fMo – частота модального интервала
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному
fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным
При этом мода будет несколько неопределенной, т.к. ее значение будет зависеть от величины групп, точного положения границ групп.
Медиана –это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения, не большие, чем средний вариант, а другая – не меньшие. Справедливо соотношение: сумма абсолютных отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая
∑
х-Ме
< ∑ х-A
, где А=Ме
(т.е.
А – любое число, отличное от Ме)
Для ранжированного (выстроенного в порядке возрастания или убывания значения признака) ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Для ранжированного ряда с четным числом членов медиана рассчитывается как средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в центре ряда.
Для дискретного ряда медиана рассчитывается с помощью накопленных частот: медианой является варианта, которой соответствует накопленная частота, впервые превысившая половину общей суммы частот.
Для интервального ряда с помощью накопленных частот определяют медианный интервал (т.е. интервал, содержащий медиану), которому соответствует накопленная частота, впервые превысившая половину общей суммы частот. Затем конкретное значение медианы рассчитывают по формуле
,
где
хМе - начальное значение медианного интервала
iMe - величина медианного интервала
SMe-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу
fMe – частота медианного интервала
Моду и медиану можно также определить графически.
М
ода
определяется по полигону (рис.1) или
гистограмме (рис.2) распределения. В
первом случае мода соответствует
наибольшей ординате. Во втором – правую
вершину модального прямоугольника
соединяют с правым углом предыдущего
прямоугольника, а левую вершину – с
левым углом последующего прямоугольника.
Абсцисса точки пересечения – этих
прямых будет модой распределения.
Медиана определяется по кумуляте (рис.3). Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.