27) Параметрические показатели определения зависимости.

И змерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных зависимостей) факторныхпризнаков. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента: Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

М ежду линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

где-a_i - коэффициент регрессии в уравнении связи; - среднее квадратическое отклонение соответствующего, статистически существенного, факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: [-1<r   Таблица 36 Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента связи	Характеристика связи	Интерпретация связи
r = 0	отсутствует	-
0 < r < 1	прямая	с увеличением x увеличивается y
-1 < r < 0	обратная	с увеличением x уменьшается y и наоборот
r = 1	функциональная	каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Пример. На основе выборочных данных о деятельности 6 предприятий одной из отраслей промышленности Российской Федерации оценить тесноту связи между трудоемкостью продукции предприятия (X, чел.-час.) и объемом ее производства (Y, млн. руб.) Таблица 37 Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции

№ п/п	Объем произведенной продукции, млн. руб., Y	Затраты на 100 изделий, чел.-час, X	yx	y2	x2
1 2 3 4 5 6	221 1070 1001 606 779 789	96 77 77 89 82 81	21216 82390 77077 53934 63878 63909	48841 1144900 1002000 367236 606841 622520	9216 5929 5929 7921 6724 6561
Сумма	4466	502	362404	3792338	42280
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

И спользуя формулу получаем:

П о формуле значение коэффициента корреляции составило:

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками. В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение. Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

где - корреляционное отношение; - общая дисперсия; - средняя из частных (групповых) дисперсий; - межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних). Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака. Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

где  - дисперсия выравненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии; - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака; _ост - остаточная дисперсия. Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0<<1). Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляется множественный и частные коэффициенты корреляции. Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков. Множественный коэффициент к орреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле: где  - парные коэффициенты корреляции между признаками. Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0<r   На основе данных таблицы 34 рассчитаем коэффициент множественной корреляции и его ошибку: Множественный коэффициент корреляции составит: Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x₁ и x₂ при фиксированном значении других (k - 2) факторных признаков, то есть когда влияние x₃ исключается, то есть оценивается связь между x₁ и x₂ в "чистом виде". В случае зависимости y от двух факторных признаков x₁ и x₂ коэффициенты частной корреляции имеют вид: где r - парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными. В первом случае исключено влияние факторного признака x2, во втором - x1. На основании приведенных выше данных о зависимости трех факторов деятельности предприятий вычислим частные коэффициенты корреляции (табл. 34):

28)Непараметрические показатели определения зависимости В анализе социальных явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам, например рангам, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи. Данные коэффициенты исчисляются при условии, что исследуемые признаки подчиняются различным законам распределения.Ранжирование - это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения. Ранг - это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связанными.

Принцип нумерации значений исследуемых признаков является основой непараметрических методов изучения взаимосвязи между социальными явлениями и процессами.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена (r ) и Кендалла (t ). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связей как между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их значения упорядочить или проранжировать по степени убывания или возрастания признака.

К оэффициент корреляции рангов (Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

где d_i² - квадрат разности рангов, n - число наблюдений (число пар рангов).

К оэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале [-1;1]. Значимость коэффициента корреляции рангов Спирмена проверяется на основе t-критерия Стъюдента. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

Значение коэффициента корреляции считается существенным, если t_p > t_kp(a , k = n - 2).

Е сли совокупность значений по исследуемому признаку содержит связные ранги, то коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле:

где  , t_j - число одинаковых рангов в j-ом ряду.

Н а практике, если величины T_x и T_y не существенно отличаются относительно значения  , пользуются формулой:

Р анговый коэффициент корреляции Кендалла (t ) может также использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты, ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле:

где n - число наблюдений, S - сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1 значения X ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2 значения Y располагаются в порядке, соответствующем значениям X;

3 для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяется величина P как мера соответствия последовательностей рангов по X и Y и учитывается со знаком (+);

4 для каждого ранга Y определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком (-);

5 определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Е сли в изучаемой совокупности есть связные ранги, то расчеты следует производить по следующей формуле:

г де 

К ак правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. При достаточно большом объеме совокупности значения данных коэффициентов имеют следующую зависимость:

Связь между признаками можно признать статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0.5.

д ля определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) (W), который вычисляется по формуле:

г де m - количество факторов, n - число наблюдений, S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов. Значимость коэффициента конкордации проверяется на основе c ² - критерия Пирсона:

В случае наличия связных рангов коэффициент конкордации определяется по формуле:

г де  , t_j - количество связных рангов по отдельным показателям.

Проверка значимости осуществляется по формуле:

Коэффициент конкордации принимает любые значения в интервале [-1;1].

Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена, Кендалла и конкордации имеют то преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между качественными, так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.