2.3 Интервалы прогноза

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое у_p значение как точечный прогноз теоретического значения y_x^T при x_p=x_k: у_p=а+b х_p. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки у_x^Т, - m_yp, и интервальной оценки прогнозного значения – строится доверительный интервал прогноза.

Выведём формулу для m_yp.

Имеем уравнение линейной регрессии: у_x^T=а+bх. Подставим в это уравнение выражение параметра а: , тогда уравнение регрессии примет вид:

Следовательно, стандартная ошибка m_yp зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b, т.е.

Из теории выборки известно, что Используя в качестве оценки σ² остаточную дисперсию на одну степень свободы D_ост ( ), получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной у:

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой: Считая, что прогнозное значение фактора x_p=x_k, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения:

Соответственно m_yp имеет выражение:

Интервальная оценка прогнозного значения (у^*):

- y^* +

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении x_k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , как видно из формулы, достигает минимума при x_k = и возрастает по мере того, как удаляется от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между x_k и , тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение у для заданного значения x_k. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении x_k от . Если же значение x_k оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько x_k отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х.

Для прогнозируемого значения 95% -ные доверительные интервалы при заданном x_k определяются выражением:

t_α* _,

На графике доверительные границы для представляют собой гиперболы_, расположенные по обе стороны от линии регрессии (рис.)

Рис. показывает, как изменяются пределы в зависимости от изменения x_k: a – верхняя доверительная граница; б – линия регрессии; в – доверительный интервал для при x_к; г – нижняя доверительная граница.

Рис. Доверительный интервал линии регрессии.

Две гиперболы по обе стороны от линии регрессии определяют 95%-ные доверительные интервалы для среднего значения у при заданном значении х.

Однако фактические значения у варьируют около среднего значения _. Индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы D_ост. Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку _, но и случайную ошибку .

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у составит:

₌

При прогнозировании на оcнове уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезе развития событий.