II. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа:

II.а) нелинейные модели внутренне нелинейные (нелинейная модель внутренне нелинейна если она не может быть сведена к линейной функции).

К таким моделям можно отнести: , так как эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения линейные по коэффициентам.

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода . Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях., но мы будем рассматривать лишь внутренне линейные модели.

II.б) нелинейные модели внутренне линейные (нелинейная модель внутренне линейна если она может быть сведена к линейной функции);

Эти модели получили гораздо большее распространение, к ним можно отнести:

1) степенная — y=a x^b E;

2) показательная — y=a b^x E;

3) экспоненциальная — y=e^a+bx E;

4) обратная —

5) логистическая — и другие.

Такие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей.

Рассмотрим на примере экспоненциальной модели y=e^a+bxE процесс её линеаризации: логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели: Lny=a+b x+lnE.

Аналогичным образом, путем логарифмирования, приводят к линейному виду степенную и показательную функции.

Линеаризация для обратной модели происходит путём обращения обеих частей равенства . Так получим линейную форму модели для переменной .

Приводима к линейному виду и логистическая функция: .

Преобразовывая равенство, получим:

.

Обозначив, , имеем: .

В эконометрике широко используются коэффициенты эластичности. Формула расчета коэффициента эластичности: ,

где f^’(x) – первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей модели.

Из данной формулы видно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии:

Вид функции, y	Коэффициент эластичности,
Линейная y=a+bx+E
Парабола второго порядка y=a+bx+cx2+E
Гипербола y=a+b/x+E
Показательная y=a bx E
Степенная y=a xb E
Полулогарифмическая y=a+b lnx+E
Логистическая
Обратная

В силу того, что коэффициент эластичности для степенной функции является величиной постоянной, равной параметру b, а у других форм связи коэффициент эластичности зависит от значений фактора x, то в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция y=ax^bE (в ней параметр b имеет чёткое экономическое истолкование).

Так как коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле: .

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах.