Интегралы с полиномами Эрмита
1. Вычисляем
.
Учитываем четность (6.3)
.
Если
–
нечетное,
тогда
.
Если
– четное,
то в
подставляем форму Родрига (6.2)
.
Интегрируем
по частям, где
,
,
,
.
Свободное слагаемое
равно нулю на обоих пределах. Получаем
После интегрирования по частям m раз
учтено
.
Используем (4.9)
при
,
,
и находим
.
Учитываем (4.11)
,
тогда
.
В результате
,
– четное. (6.21)
Частные случаи
Из
(6.21) при
с учетом
получаем
,
(6.21а)
Из
(6.21) при
,
(6.22)
Из
(6.22) при
и
находим
,
(6.23)
.
(6.24)
В формуле (6.22)
,
заменяем
,
где
.
Преобразуем правую сторону
.
Для гамма-функций вблизи полюсов используем (4.4) в виде
.
При
,
,
,
получаем
.
В результате (6.22)
при
замене
дает
,
.
(6.25)
Из
(6.25) при
и
получаем
,
(6.26)
.
(6.27)
2. Вычисляем
,
Интеграл
приводим к виду (6.22), используя для
полиномиальную форму (6.4)
.
Переставляем суммирование и интегрирование
.
Интеграл сводится к (6.22)
,
.
Заменяем
.
В результате
=
,
(6.28)
где
знаменатели с факториалами ограничивают
.
Частные случаи
При
,
из (6.28) получаем нормировку полиномов
Эрмита
,
(6.29)
что совпадает с результатом, полученным методом факторизации.
При
,
из (6.28) с учетом
,
,
,
находим
.
При
,
из (6.28) с учетом
получаем
.
Гармонический осциллятор
От лат. oscillatio – «качание». Система колеблется по гармоническому закону.
Осциллятор в классической теории
Шарик
массой μ подвешен на упругой пружине с
коэффициентом жесткости k.
Трение и сила тяжести пренебрежимо
малы. При смещении на z
от положения равновесия при
действует возвращающая упругая сила
.
Возникают периодические колебания с
частотой ω и с полной энергией Е.
Потенциальная энергия упругой силы
.
Проекция упругой силы
создает
ускорение
.
Второй закон Ньютона
дает уравнение движения
,
где частота колебаний
,
,
тогда
.
Решение уравнения имеет форму колебаний
,
где
– амплитуда;
– начальная фаза;
– текущая фаза.
Полная энергия равна
.
При максимальном смещении шарик останавливается
,
тогда
.
Полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты, и может быть любой величины. Спектр энергии непрерывный. Амплитуда колебаний
.
(6.30а)
Квадрат импульса
.
(6.30б)
Осциллятор в квантовой теории
В квантовой теории спектр энергии эквидистантный
,
Уровню
энергии n
сопоставляются n
квантов энергии
.
Минимальная энергия осциллятора с
нулевым числом квантов, или энергия
вакуума
.
