Примеры

1. Доказать, что преобразование Фурье не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.

Выполняем Фурье-преобразование уравнения (6.31)

.

Используем линейность преобразования и теорему Фурье о дифференцировании (1.35)

,

и теоремы Фурье об умножении на аргумент (1.37)

.

Получаем

.

Заменяем и приходим к уравнению

, (П.4.14)

аналогичному (6.31), где безразмерный импульс

;

(П.4.15)

– Фурье-образ функции .

2. Для полиномов Эрмита доказать формулу Мелера

, (П.4.20)

где . При получаем условие полноты базиса полиномов Эрмита

. (П.4.21)

Используем интегральное представление полиномов Эрмита (6.8)

,

.

Подставляем в левую сторону (П.4.20), меняем порядок суммирования и интегрирований

.

Используем

,

тогда

.

Используем (П.2.5)

при

, , ,

и вычисляем внутренний интеграл

,

тогда

. (П.4.20а)

При помощи (П.2.5)

,

где

, , ,

находим интеграл

, .

Получаем

.

В результате доказано (П.4.20)

.

При последний вычисленный интеграл дает дельта-функцию

,

где учено (2.24)

.

Из (П.4.20а)

при получаем условие полноты базиса полиномов Эрмита

. (П.4.21)

Для функций гармонического осциллятора , где

, (6.32)

получаем условие полноты базиса функций гармонического осциллятора

. (П.4.22)

Доказательство

Из (6.32) выражаем

,

подставляем в (П.4.21) и получаем (П.4.22).

Обобщенные полиномы Лагерра

, ; – любое число; .

Набор полиномов образует ортонормированный базис на полуоси .

Полиномы используются:

• в теории измерительной техники и в теории систем связи;

• в квантовой механике описывают радиальное движение электрона в атоме.

Полиномы исследовал Эдмон Лагерр в 1878 г.

Обобщенные полиномы изучал Николай Сонин в 1880 г., поэтому их называют также полиномы Сонина–Лагерра.

Эдмон Никола Лагерр (1834 – 1886)

Николай Яковлевич Сонин (1849 – 1915)

Уравнение Лагерра

(6.41)

Уравнение относится к гипергеометрическому типу.

Форма Родрига

Методом факторизации ранее получена весовая функция (П.3.9)

.

В решении уравнения в форме Родрига (П.3.10) выбираем постоянную

,

и находим

. (6.42)

Полиномиальная форма

(6.44)

Следовательно, n – высшая степень полинома .

Доказательство (6.44)

Используем форму Родрига (6.42). Дифференцирование произведения функций проводим по формуле Лейбница

. (6.45)

Например, при получается известная формула

.

В (6.45) полагаем , и учитываем

.

Соотношение

обобщаем на случай – не целое

.

В результате

.

Подставляем в (6.42)

,

получаем полином порядка n

. (6.44)

При находим

. (6.47)